函数的概念第二课时教学设计

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函数的概念第二课时教学设计

　　A【教学目标】

函数的概念第二课时教学设计

　　1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；

　　2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．

　　3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。

　　B【教学重难点】

　　教学重点

　　能熟练求解常见函数的定义域和值域．

　　教学难点

　　对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．

　　C【教学过程】

　　1、创设情境

　　下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？

　　（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ；（2） f(x)＝x；g(x)＝x；

　　、（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ；（4） f(x) ＝|x|；g(x)＝．

　　2、讲解新课

　　总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

　　3、典例

　　例1 求下列函数的定义域：

　　（1）y?x?1?x?1；（2）y?1

　　x2?3?5?x2；

　　分析：一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

　　解：（1）由??x?1?0,?x?1,得?即x?1，故函数y?x?1?x?1的定义域是[1，??)． x?1?0,x??1,??

　　2???x?3?0,?x??,（2）由?得?即?5≤x≤5且x≠±， 2???5?x?0,???x?5,

　　故函数的定义域是{x|?≤x≤且x≠±3}．

　　点评：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：

　　① 分式中，分母不等于零．

　　② 偶次根式中，被开方数为非负数．

　　③ 对于y?x0中，要求 x≠0．

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　　y?(x?1)0

　　x|?xy?2x?3?1

　　2?x?

　　变式练习1求下列函数的定义域：（1）；（2）1x．

　　?x?1?0,?x??1,(x?1)0解（2）由?得? 故函数y?是{x|x<0，且x≠?1}． x|?x?x?0,?|x|?x?0,

　　3?x??,??2x?3?0,2?3? （4）由?2?x?0,即?x?2, ∴?≤x＜2，且x≠0， 2?x?0?x?0,???

　　故函数的定义域是{x|?3≤x＜2，且x≠0}． 2

　　说明：若A是函数y?f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．

　　因此我们可以知道：对于函数f：A

　　B而言，如果如果值域是C，那么C?B，因此不能将集合B

　　当成是函数的值域．

　　我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

　　例2．求下列两个函数的定义域与值域：

　　（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

　　（2）f (x)=( x-1)2+1．

　　解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，

　　f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，

　　所以这个函数的值域为{1，2，5}．

　　（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}

　　点评：通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的

　　值域的方法我们称为观察法．

　　变式练习2 求下列函数的值域：

　　2y?x?4x?6，x?[1，5)；（1）

　　（2）y?3x?1

　　x?1；解：（1）y?(x?2)2?2． x?[1，5)的图象，作出函数y?x2?4x?6，由图观察得函数的值域为{y|2≤y＜11}．

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　　（2）解法一：y?

　　的值域为｛y|y≠3｝．解法二：把y?3x?1看成关于x的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数x?13(x?1)?444，显然可取0以外的一切实数，即所求函数?3?x?1x?1x?1

　　定义域｛x|x≠－1｝内有解的条件是

　　??y－3≠0，

　　?y＋1，解得y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．－≠－1??y－3

　　点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；

　　（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．

　　4、课堂小结

　　（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

　　（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．

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