二次函数性质的再研究教学设计

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二次函数性质的再研究教学设计

　　一、内容与解析

二次函数性质的再研究教学设计

　　（一）内容：二次函数性质的再研究。

　　（二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题.特别是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能灵活运用数形结合的思想来解决问题.

　　二、目标及其解析：

　　（一）目标

　　（1）掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用；

　　（二）解析

　　（1）二次函数是一重要的函数，掌握好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特别注意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。

　　三、问题诊断分析

　　研究二次函数问题一定注意问题成立的范围，超出范围的解是无效的.因此研究二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者来说，是很容易犯错的。

　　四、支持条件分析

　　在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。

　　五、教学过程

　　（一）研探新知：

　　（1）1.二次函数的性质

　　图像

　　开口方向① ②

　　顶点坐标③ ④

　　对称轴

　　单调区间单调递减区间

　　⑤调递增区间单调递增区间

　　⑥单调递减区间

　　最值当 ,取得最小值为

　　当 ,取得最大值为

　　2．二次函数性质的应用

　　①如何确定二次函数的性质

　　②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值

　　3.二次函数的三种解析式

　　①顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.如果已知顶点，则可设成这种形式.

　　②交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.如果已知二次函数与x 轴的交点坐标，则可设成这种形式.

　　③一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标，可设为这种形式.

　　（二）类型题探究

　　题型一二次函数的最值与解析式问题

　　例1 已知，函数、表示函数在区间上的最小值，最大值，求、表达式．

　　解析：由，知图像关于对称，结合图像知，

　　当，即时，；

　　而当，即时，；

　　当，即时，．

　　当，即时，；

　　当，即时，．

　　题型二二次函数的实际应用问题

　　例2 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

　　解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：，所以这时租出了88辆车；

　　（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为：

　　整理得：，

　　所以，当时，取最大值，其最大值为，

　　即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

　　设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。

　　(三）小结：

　　六、目标检测

　　一、选择题

　　1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c满足f（4）＝f（1），那么（）

　　A. f（2）＞f（3） B. f（2）＜f（3）

　　C. f（2）＝f（3） D. f（2）与f（3）的大小关系不能确定

　　1. C 解析：函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关，结合对称轴的位置即可得到答案．

　　2. 一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根，则a的范围是（）

　　A. B. C. D.

　　2. C 解析：方程△＝4－4a>0，设两根为，则．∵ 异号，∴ ,结合两个不等式可得解.

　　3.函数是单调函数，则（）

　　A. B. C. D.

　　3．Ａ解析：函数的对称轴，∴函数）是单调函数，

　　4.二次函数，若，则等于（）

　　A. B. C. D.

　　4.Ｄ解析：二次函数对称轴，顶点坐标 ,所以 =

　　二、填空题

　　5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈Z）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年.

　　5.7 解析：首先根据条件求出y＝－（x－6）2＋11，本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差．

　　6.若函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是_____

　　6.a≤－3 解析：利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为1>0,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为 ,所给区间都在对称轴的左侧,即a≤－3

　　三、解答题

　　7．(1)求函数（x∈N）的最小值.

　　(2)在区间上,求函数的最大值与最小值.

　　(3)在区间上,求函数的最大值与最小值.

　　7.解析：(1)因为 ,又因为 ∈N,所以当 =1或 =2时函数值都等于－9且最小.

　　(2)该函数的对称轴为x= ,所给区间在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为1>0,所以在上该函数为增函数,所以当 =2时,函数值最小,最小值为-9,当 =3时函数有最大值,最大值为-7

　　(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为 ,当时, ,当时, ,所以该函数的最大值为 .

　　8.已知二次函数当x=4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.

　　8. 解析：解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由条件，可得抛物线的顶点为（4，－3），且过（1，0）与（7，0）两点，将三个点的坐标代入，得解得

　　∴所求二次函数解析式为y= x2－ x+ .

　　解法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是（1，0）与（7，0），

　　∴设二次函数的解析式为y=a（x－1）（x－7），把顶点（4，－3）代入，得－3=a（4－1）（4－7），解得a= .

　　∴二次函数解析式为y= （x－1）（x－7），即y= x2－ x+ .

　　解法三：∵抛物线的顶点为（4，－3），且过点（1，0），∴设二次函数解析式为y=a（x－4）2－3.

　　将（1，0）代入，得0=a（1－4）2－3，解得a= .

　　∴二次函数解析式为y= （x－4）2－3，即y= x2－ x+ .

　　高考能力演练

　　9.若函数f（x）=x2+ax+b与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）的单调性

　　A.在（－∞，2］上减少，在［2，+∞）上增加 B.在（－∞，3）上增加

　　C.在［1，3］上增加 D.不能确定

　　9. A 解析：由已知可得该函数的对称轴为 ,又二次项系数为1>0,所以在（－∞，2］上为单调递减函数，在［2，+∞）上为单调递增函数.

　　10．已知函数 ,且对任意的实数都有成立

　　(1)求实数的值; (2)利用单调性的定义判断函数在区间上的单调性.

　　10.解析： (1) ,所以该函数的对称轴为 ,

　　根据函数解析式可知 ,所以 .

　　(2)由(1)可知 ,在上该函数为增函数,下面就用定义去证明:

　　设 ,则

　　即 ,故函数在区间上的增函数

　　11.已知函数f（x）=x2－2ax+a2+1，x∈［0，1］，若g（a）为f（x）的最小值.

　　（1）求g（a）；（2）当g（a）=5时，求a的值.

　　11.解析： f（x）=（x－a）2+1，

　　（1）当0≤a≤1时，g（a）=f（a）=1;

　　当a<0时，g（a）=f（0）=a2+1; a="">1时，g（a）=f（1）=a2－2a+2.

　　∴g（a）=

　　（2）令 a=－2. 令 a=3.∴ 或时,

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