中小学数学三元一次方程组解法教案

中小学数学三元一次方程组解法教案

　　教 学 过 程 设 计

　　一、创设问题情境，复习旧知识，激发学生兴趣，引出本节要研究的内容．

　　活动1 纸币问题

　　小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？

　　学生活动设计：

　　设1元2元分别为x张、y张，如何列方程组？用什么消元法比较好呢？

　　只设一个未知数，用一元一次方程能否求解？（能，但不方便。对未知量较多的问题，所设的未知数越少，方程往往越难列。其实题中有三个未知量我们就设三个未知数来解决。）

　　自然想法是，设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程:

　　x+y+z=12,

　　x+2y+5z=22,

　　x=4y.

　　这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此可以把三个方程合在一起写成

　　教师活动设计：

　　在学生活动的基础上，适时给出三元一次方程组的概念，并激发学生探究其解法的热情．

　　板书：三元一次方程组：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．

　　活动2 讨论如何解三元一次方程组

　　我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么能否用同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数，把它转化成二元一次方程组或一元一次方程呢？观察方程组：

　　①

　　②

　　③

　　仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程：

　　4y＋y＋z＝12

　　4y＋2y＋5z＝22

　　即

　　得到二元一次方程组后就不难求出y和z的值，进而可以求出x了．（问题：同学们还有不同的消元法吗？比较一下哪种方法较好。）

　　总结：

　　解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即

　　板书：

　　三元一次方程组

　　二元一次方程组

　　一元一次方程

　　消元（代入、加减） 消元

　　三元变二元最佳方法：

　　①

　　②

　　③

　　1、有表达式的用代入法；2、缺某元，消某元；3、相同未知数的系数相同或相反或整数倍的用加减消元法。例分析：p114习题1

　　二、主体探究，培养学生解决问题的能力．

　　例题分析：解三元一次方程组

　　①

　　②

　　③

　　分析：方程①只含x，z，因此可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

　　解：②×3＋③，得

　　11x＋10z＝35 ④

　　①与④组成方程组

　　解这个方程组，得

　　把x＝5，z＝－2代入②得

　　因此三元一次方程组的解为 

　　板书：（可略）解三元一次方程步骤、格式：1）、三元变二元（有的可直接变一元），利用代入消元法或加减消元法或其他简便的方法，把三元变二元的方程组；2）、解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；3）、将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值；4）、把这三个数写在一起就是所求的三元一次方程组的解。

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