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单位圆与正弦函数教案
1 单位圆与正弦函数
在初中,我们学习了锐角α的正弦函数值:sinα= ,如图:sinA= ,由于a是直角边,c是斜边,所sinA∈(0,1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中,我们来看看会发生什么?
在直角坐标系中,(如图所示),设角α(α∈(0, ))的终边与半经为r的圆交于点P(a,b),则角α的正弦值是:sinα= .根据相似三角形的知识可知,对于确定的角α, 都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见,令r=1(即为单位圆),那么sinα=b,也就是说,若角α的终边与单位圆相交于P,则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角,那么,我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为该如何定义任意角的正弦函数?
一般地,在直角坐标系中(如上图),对任意角α,它的终边与单位圆交于点P(a,b),我们可以唯一确定点P(a,b)的纵坐标b,所以P点的纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数,记作=sinα(α∈R)。通常我们用x,分别表示自变量与因变量,将正弦函数表示为=sinx.正弦函数值有时也叫正弦值.
请同学们画图,并利用正弦函数的定义比较说明: 角与 角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?它们的正弦值有什么关系? 角和 角呢?- 角和 角呢?- 角和- 角呢?
sin =sin = sin =-sin =-
Sin(- )=sin( )= sin(- )=sin(- )=
通过上述问题的讨论,容易得到:终边相同的角的正弦函数值相等,即
sin(2π+α)=sinα (∈Z),说明对于任意一个角α,每增加2π的整数倍,其正弦函数值不变。所以,正弦函数是随角的变化而周期性变化的,正弦函数是周期函数,2π(∈Z,≠0)为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个,称为最小正周期。一般地,对于周期函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。
【巩固深化,发展思维】
1.若点P(—3,)是α终边上一点,且sinα=— ,求值.【 】
2.若角α的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在函数=—3x (x≤0)的图像上,则sinα= 。【 】
(三)、归纳整理,整体认识:
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
(四)、作业布置:1、已知锐角 终边上一点 (3,4),求 角的正弦值。
2、已知 是角 终边上一点,求 的值。
3、已知角 的终边落在直线 上,求 的值。
4、若实数 , 满足 ,求: 的值。
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