C语言求Fibonacci斐波那契数列通项问题的解法

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　　斐波那契数列相关问题是考研和ACM中常见的算法题目，本文是百分网小编搜索整理的关于C语言求Fibonacci斐波那契数列通项问题的解法总结，供参考学习，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们应届毕业生考试网!

　　一：递归实现

　　使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次递归计算，递归结束条件是f[1]=1，f[2]=1。

　　二：数组实现

　　空间复杂度和时间复杂度都是0(n)，效率一般，比递归来得快。

　　三：vector<int>实现

　　时间复杂度是0(n)，时间复杂度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，当然vector有自己的属性会占用资源。

　　四：queue<int>实现

　　当然队列比数组更适合实现斐波那契数列，时间复杂度和空间复杂度和vector<int>一样，但队列太适合这里了，

　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有关，f(n)入队列后，f(n-2)就可以出队列了。

　　五：迭代实现

　　迭代实现是最高效的，时间复杂度是0(n)，空间复杂度是0(1)。

　　六：公式实现

　　百度的时候，发现原来斐波那契数列有公式的，所以可以使用公式来计算的。

　　由于double类型的精度还不够，所以程序算出来的结果会有误差，如果把公式展开计算，得出的结果就是正确的。

　　完整的实现代码如下：

　　#include "iostream"

　　#include "queue"

　　#include "cmath"

　　using namespace std;

　　int fib1(int index) //递归实现

　　{

　　if(index<1)

　　{

　　return -1;

　　}

　　if(index==1 || index==2)

　　return 1;

　　return fib1(index-1)+fib1(index-2);

　　}

　　int fib2(int index) //数组实现

　　{

　　if(index<1)

　　{

　　return -1;

　　}

　　if(index<3)

　　{

　　return 1;

　　}

　　int *a=new int[index];

　　a[0]=a[1]=1;

　　for(int i=2;i<index;i++)

　　a[i]=a[i-1]+a[i-2];

　　int m=a[index-1];

　　delete a; //释放内存空间

　　return m;

　　}

　　int fib3(int index) //借用vector<int>实现

　　{

　　if(index<1)

　　{

　　return -1;

　　}

　　vector<int> a(2,1); //创建一个含有2个元素都为1的向量

　　a.reserve(3);

　　for(int i=2;i<index;i++)

　　{

　　a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1));

　　a.pop_back();

　　}

　　return a.at(0);

　　}

　　int fib4(int index) //队列实现

　　{

　　if(index<1)

　　{

　　return -1;

　　}

　　queue<int>q;

　　q.push(1);

　　for(int i=2;i<index;i++)

　　{

　　q.push(q.front()+q.back());

　　q.pop();

　　}

　　return q.back();

　　}

　　int fib5(int n) //迭代实现

　　{

　　int i,a=1,b=1,c=1;

　　if(n<1)

　　{

　　return -1;

　　}

　　for(i=2;i<n;i++)

　　{

　　c=a+b; //辗转相加法（类似于求最大公约数的辗转相除法）

　　a=b;

　　b=c;

　　}

　　return c;

　　}

　　int fib6(int n)

　　{

　　double gh5=sqrt((double)5);

　　return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5);

　　}

　　int main(void)

　　{

　　printf("%d\n",fib3(6));

　　system("pause");

　　return 0;

　　}

　　七：二分矩阵方法

　　201663185151250.gif (312×428)

　　如上图，Fibonacci 数列中任何一项可以用矩阵幂算出，而n次幂是可以在logn的时间内算出的。

　　下面贴出代码：

　　void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod)

　　{

　　int tmp[4];

　　tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0];

　　tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1];

　　tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0];

　　tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1];

　　c[0][0]=tmp[0]%mod;

　　c[0][1]=tmp[1]%mod;

　　c[1][0]=tmp[2]%mod;

　　c[1][1]=tmp[3]%mod;

　　}//计算矩阵乘法，c=a*b

　　int fibonacci(int n,int mod)//mod表示数字太大时需要模的数

　　{

　　if(n==0)return 0;

　　else if(n<=2)return 1;//这里表示第0项为0，第1，2项为1

　　int a[2][2]={{1,1},{1,0}};

　　int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化为单位矩阵

　　int s;

　　n-=2;

　　while(n>0)

　　{

　　if(n%2 == 1)

　　multiply(result,result,a,mod);

　　multiply(a,a,a,mod);

　　n /= 2;

　　}//二分法求矩阵幂

　　s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//结果

　　return s;

　　}

　　附带的再贴上二分法计算a的n次方函数。

　　int pow(int a,int n)

　　{

　　int ans=1;

　　while(n)

　　{

　　if(n&1)

　　ans*=a;

　　a*=a;

　　n>>=1;

　　}

　　return ans;

　　}

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