抽象函数的定义是什么

　　解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数问题只能是空谈。下面是百分网小编给大家整理的抽象函数的定义简介，希望能帮到大家!

　　抽象函数的定义

　　我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现;如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。

　　抽象函数形式

　　幂函数：f(xy)=f(x)f(y)

　　f(x/y)=f(x)/f(y)

　　正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)

　　f(x-y)=f(x)-f(y

　　对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)

　　f(x/y)=f(x)-f(y)

　　三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx

　　指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)

　　f(x-y)=f(x)/f(y)

　　周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)

　　抽象函数的解法举例

　　特殊值法

　　特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。

　　例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈R)，当x<0时， f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )

　　A　有最小值f (a)　 B　有最大值f[(a+b)/2]　 C　有最小值f (b)　 D　有最大值f (b)

　　分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有

　　此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)

　　∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。

　　赋值法

　　根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而解决问题。

　　例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法

　　解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,

　　再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。

　　得 f (x)是一个奇函数，图像关于原点对称。

　　∵当x <0时，f (x) >0，

　　即f (x)在R上是一个减函数，可得f (x)在[a,b]上有最小值f(b)。

　　图像性质解法

　　抽象函数虽然没有给出具体的解析式，但可利用它的性质图象直接来解题。

　　抽象函数解题时常要用到以下结论：

　　定理1：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于x=(a+b)/2 对称。

　　定理2：如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则函数y=f(x)是一个周期函数，其周期应为∣b-a∣

　　例4　 f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=f(2-x)，证明f(x)是周期函数。

　　分析：由 f(x)=f(2-x)，得 f(x)的图象关于x=1对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，根据上述条件，可先画出符合条件的一个图，那么就可以化无形为有形，化抽象为具体。从图上直观地判断，然后再作证明。

　　由图可直观得T=2,要证其为周期函数，只需证f (x) = f (2 + x)。

　　证明：f (x) = f (-x) = f [2-(-x)] = f (2 + x)，∴ T=2。

　　∴f (x)是一个周期函数。

　　例5 　已知定义在[-2，2]上的偶函数f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的`取值范围

　　分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢?如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f(-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免复杂的讨论。

　　学好函数的方法

　　熟悉函数的基本知识

　　解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数问题只能是空谈。具体说，学好函数要掌握常见函数的性质。例如，中学涉及的函数性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性;常见的函数有指数函数、对数函数、三角函数、二次函数、对勾函数(Y=X+A/X(A>0))等等。

　　灵活选择解题方法

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