2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷及答案
高考模拟试卷是考试前的前瞻,能帮助理科考生们熟悉理科数学考试的题型,这样在高考备考中就能很好的划分重点进行复习,下面是小编为大家精心推荐的2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷,希望能够对您有所帮助。
2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷题目
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)函数 的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(2)已知复数 ( , 是虚数单位)是纯虚数,则 为
(A) (B) (C)6 (D)3
(3)“ 为真”是“ 为真”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(4)已知 ,则
(A) (B) (C) (D)
(5)已知 ,则
(A) (B)
(C) (D)
(6)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年
商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图1
所示(单位:升),则此量器的体积为(单位:立方升)
(A)14 (B)
(C) (D)
(7)设计如图2的程序框图,统计高三某班59位同
学的数学平均分,输出不少于平均分的人数
(用j表示),则判断框中应填入的条件是
(A) (B)
(C) (D)
(8)某微信群中四人同时抢3个红包,每人最多抢一个,
则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为
(A) (B) (C) (D)
(9)已知实数 满足不等式组 ,若
的最小值为-3,则a的值为
(A)1 (B) (C)2 (D)
(10)函数 的大致图象是
(A) (B) (C) (D)
(11)已知一长方体的体对角线的长为10,这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8,则这个长方体体积的最大值为
(A)64 (B)128 (C)192 (D)384
(12)已知函数 , .若 在区间 内有零点,则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题 第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题 第(23)题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.
(13)已知向量 满足 ,则 .
(14)已知直线 与圆 相切,则 的值为 .
(15)在△ABC中,已知 与 的夹角为150°, ,则 的取值范围是 .
(16)已知双曲线 的离心率为 , 、 是双曲线的两个焦点,A为左顶点、B ,点P在线段AB上,则 的最小值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列 中, , .
(I)求证:数列 是等比数列;
(II)求数列 的前 项和为 .
(18)(本小题满分12分)
已知图3中,四边形 ABCD是等腰梯形, , ,O、Q分别为线段AB、CD的中点,OQ与EF的交点为P,OP=1,PQ=2,现将梯形ABCD沿EF折起,使得 ,连结AD、BC,得一几何体如图4示.
(Ⅰ)证明:平面ABCD 平面ABFE;
(Ⅱ)若图3中, ,CD=2,求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值.
(19)(本小题满分12分)
某学校在一次第二课堂活动中,特意设置了过关智
力游戏,游戏共五关.规定第一关没过者没奖励,过
关者奖励 件小奖品(奖品都一样).图5
是小明在10次过关游戏中过关数的条形图,以此频率估
计概率.
(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值;
(Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数;
(Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率.
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆 与抛物线 共焦点 ,抛物线上的点M到y轴的距离等于 ,且椭圆与抛物线的交点Q满足 .
(I)求抛物线的方程和椭圆的方程;
(II)过抛物线上的点 作抛物线的切线 交椭圆于 、 两点,设线段AB的中点为 ,求 的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
设函数 ( ), ,
(Ⅰ) 试求曲线 在点 处的切线l与曲线 的公共点个数;
(Ⅱ) 若函数 有两个极值点,求实数a的取值范围.
(附:当 ,x趋近于0时, 趋向于 )
请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.
(22) (本小题满分10分)选修4 4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,已知直线l1: ( , ),抛物线
C: (t为参数).以原点 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l1 和抛物线C的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l1 和抛物线C相交于点A(异于原点O),过原点作与l1垂直的直线l2,l2和抛物线C相交于点B(异于原点O),求△OAB的面积的最小值.
(23) (本小题满分10分)选修4 5:不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)求不等式 的解集 ;
(Ⅱ)当 时,证明: .
2018届揭阳市高考理科数学模拟试卷答案
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A C C B B D A B C D
解析:(6)易得该几何体为一底面半径为 、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合,故其体积为: .
(8)3个红包分配给四人共有 种分法,“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙,其余1个分配给另外二人,其概率为 .
(9)如右图,当直线 过点 时,z取得最小值,即 .
(10)由 可排除(D),由 , ,可排(A)(C),故选(B).
(11)以投影面为底面,易得正方体的高为 ,设长方体底面边长分别为 ,则 , .
(12) ,由 令 得函数 有一零点 ,排除(B)、(C),令 得函数 在 上的零点从小到大为: ,显然 , 可排除(A),故答案为(D)
【法二: ,由 得 ,当 时, ,由题意知存在 , ,即 ,所以 ,由 知 ,当 时, , , ,…,所以选D.】
二、填空题:
题号 13 14 15 16
答案
解析:
(15) 由 与 的夹角为150°知 ,由正弦定理得:
,又 得 .
(16)易得 ,设 则 ,
显然,当 时, 取得最小值,
由面积法易得 ,故 的最小值为 .
三、解答题:
(17)解:(I)证法1:由已知得 ,-----------------------------1分
∴ ,--------------------------------------------------------3分
又 ,得 ,∴ ,---------------------------------------5分
∴数列 是首项为2,公比为2的等比数列.-----------------------6分
【证法2:由 得 ,----------------1分
由 及递推关系,可知 ,所以 ,
∴ ,------------------5分
∴数列 是首项为2,公比为2的等比数列.----------------------------------6分】
(II)由(I)得 ,∴ ,---------------------------8分
,
设 ,-------------①
则 ,---------②
①式减去②式得
,
得 ,------------------------------------------------------------------10分
又 ,
∴ .-----------------------------------------------------12分
(18)解:(Ⅰ)证明:在图3中,四边形ABCD为等腰梯形,
O、Q分别为线段AB、CD的中点,
∴OQ为等腰梯形ABCD的对称轴,又AB// ,
∴OP⊥EF、PQ⊥EF,①---------------------2分
在图4中,∵ ,∴ --------------3分
由①及 ,得EF⊥平面OPQ,∴EF⊥OQ,----------------4分
又 ,∴OQ 平面ABFE,----------------------------------5分
又 平面ABCD,∴平面ABCD 平面ABFE;-------------------------------------6分
(Ⅱ)在图4中,由 ,CD=2,易得PE=PF=3,AO=OB=4,----------------7分
以O为原点,PO所在的直线为x轴建立空间直角坐标系 ,如图所示,
则 、 、
得 , -------8分
设 是平面BCF的`一个法向量,
则 ,得 ,
取z=3,得 ---------9分
同理可得平面ADE的一个法向量 -------------------------------------10分
设所求锐二面角的平面角为 ,
则 =
所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值为 .-------------------------------12分
(19)解:(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为 ,则 的分布列为
0 1 2 4 8 16
P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1
-------------------2分
的期望值 ;----------------4分
(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7,-----------------------------5分
设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X,可知 ,
则X的平均次数 ;------------------------------------------7分
(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类:恰好一次 和两次 ,恰好二次 ,恰好三次 ,---------------------------------------------------------------8分
,---------------------------------9分
= ,------------------------10分
------------------------------------------------------------11分
所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为 .------12分
(20)解:(I)∵抛物线上的点M到y轴的距离等于 ,
∴点M到直线 的距离等于点M到焦点 的距离,----------------1分
得 是抛物线 的准线,即 ,
解得 ,∴抛物线的方程为 ;-----------------------------------3分
可知椭圆的右焦点 ,左焦点 ,
由 得 ,又 ,解得 ,-------4分
由椭圆的定义得 ,----------------------5分
∴ ,又 ,得 ,
∴椭圆的方程为 .-----------------------------------------------------6分
(II)显然 , ,
由 ,消去x,得 ,
由题意知 ,得 ,-----------------------------------7分
由 ,消去y,得 ,
其中 ,
化简得 ,-------------------------------------------------------9分
又 ,得 ,解得 ,--------------------10分
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 <0,
由 ,得 ,∴ 的取值范围是 .--------------12分
(21)解:(Ⅰ)∵ , ,
切线 的斜率为 ,---------------------------------------------1分
∴切线 的方程为 ,即 ,-----2分
联立 ,得 ;
设 ,则 ,----------3分
由 及 ,得 或 ,
∴ 在 和 上单调递增,可知 在 上单调递减,----4分
又 , ,所以 , ,-----------5分
∴方程 有两个根:1和 ,从而切线l与曲线 有两个公共点.--6分
(Ⅱ)由题意知 在 至少有两不同根,----------------7分
设 ,
①当 时, 是 的根,
由 与 ( )恰有一个公共点,可知 恰有一根 ,
由 得a=1,不合题意,
∴当 且 时,检验可知 和 是 的两个极值点;-----------------8分
②当 时, 在 仅一根,所以 不合题意;--9分
③当 时,需 在 至少有两不同根,
由 ,得 ,所以 在 上单调递增,
可知 在 上单调递减,
因为 ,x趋近于0时, 趋向于 ,且 时, ,
由题意知,需 ,即 ,解得 ,------11分
∴ .
综上知, .---------------------------------------------------12分
选做题:
(22)解:(Ⅰ)可知l1是过原点且倾斜角为 的直线,其极坐标方程为
---------------------------------------------------------2分
抛物线C的普通方程为 ,-------------------------------------------3分
其极坐标方程为 ,
化简得 .-----------------------------------------------------5分
(Ⅱ)解法1:由直线l1 和抛物线C有两个交点知 ,
把 代入 ,得 ,-----------------6分
可知直线l2的极坐标方程为 ,-----------------------7分
代入 ,得 ,所以 ,----8分
,
∴△OAB的面积的最小值为16.----------------------------------------------------------10分
【解法2:设 的方程为 ,由 得点 ,------6分
依题意得直线 的方程为 ,同理可得点 ,-------------7分
故 -------------------------8分
,(当且仅当 时,等号成立)
∴△OAB的面积的最小值为16.----------------------------------------------------------10分】
(23)解:(Ⅰ)由 ,得 ,即 ,--------------3分
解得 ,所以 ;----------------------------------------------5分
(Ⅱ)法一:
-----------------------------------7分
因为 ,故 , , , ,--------8分
故 ,
又显然 ,故 .-------------------------------------------------1 0分
【法二:因为 ,故 , ,----------------6分
而 ------------------------------7分
,-------------------------8分
即 ,故 .------------------------------------10分】
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