2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷及答案
数学一直都是许多文科生很头疼的一门学科，但学好数学可以通过多做模拟试卷来提高，以下是百分网小编为你整理的2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷题目
一、选择题：(本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的)
1.已知集合M={x|x2﹣4x<0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=( )
A.(﹣2，4) B.[﹣2，4) C.(0，2) D.(0，2]
2.在复平面内，复数z= ﹣2i3(i为虚数单位)表示的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.命题p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2，0)，命题q：∃x∈N，x3
A.p假q假 B.p真q假 C.p假q真 D.p真q真
4.如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
5.已知x，y满足 ，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )
A.4 B. C. D.
6.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a= ，b+c=3，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.2
7.将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调区间是( )
A.[4k+1，4k+3](k∈Z) B.[2k+1，2k+3](k∈Z) C.[2k+1，2k+2](k∈Z) D.[2k﹣1，2k+2](k∈Z)
8.若直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，则 + 最小值( )
A.2 B.6 C.12 D.3+2
9.已知函数f(x)= x2+cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
10.点F为双曲线C： ﹣ =1(a，b>0)的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B.若3 + =0，则双曲线C的离心率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：(本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置)
11.在△ABC中，若b=1，c= ，∠C= ，则a= .
12.已知实数x，y满足不等式组 ，则2x+y的最大值为 .
13.双曲线 的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是 .
14.已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为 .
15.给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;
②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2﹣y2=1，则函数y=f(x)可能是奇函数;
③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2< 成立的概率是
④函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)恒为正，则 实数a的取值范围是(﹣∞， ).
其中真命题的序号是 .(请填上所有真命题的序号)
三、解答题(共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置)
16.植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下：
区间 人数 频率
第1组 [25，30) 50 0.1
第2组 [30，35) 50 0.1
第3组 [35，40) a 0.4
第4组 [40，45) 150 b
(1)求a，b的值;
(2)现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少?
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率.
17.现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：
产品 A B C
数量 240 240 360
已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件.
(I)求三种产品分别抽取的件数;
(Ⅱ)已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件.现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率.
18.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点.
(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积.
19.已知数列{an}中，a1=2，且 .
(I)求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=n(an﹣1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn<4.
20.已知椭圆C： ，离心率为 .
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆C的`下顶点为A，直线l过定点 ，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|.求直线l的方程.
21.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=﹣4 x的焦点重合，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点.当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否在x轴上存在定点M，使 • 为定值?若存在，请求出定点M及定值;若不存在，请说明理由.
2018届青岛市平度市高考文科数学模拟试卷答案
一、选择题：(本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的)
1.已知集合M={x|x2﹣4x<0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=( )
A.(﹣2，4) B.[﹣2，4) C.(0，2) D.(0，2]
【考点】1D：并集及其运算.
【分析】先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可.
【解答】解：集合M={x|x2﹣4x<0}=(0，4)，N={x||x|≤2}=[﹣2.2].
∴M∪N=[﹣2，4)，
故选：B
2.在复平面内，复数z= ﹣2i3(i为虚数单位)表示的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求.
【解答】解：∵z= ﹣2i3= ，
∴z在复平面内对应的点的坐标为：(1，3)，位于第一象限.
故选：A.
3.命题p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2，0)，命题q：∃x∈N，x3
A.p假q假 B.p真q假 C.p假q真 D.p真q真
【考点】2K：命题的真假判断与应用;4N：对数函数的图象与性质.
【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题p，q的真假，可得答案.
【解答】解：当x=2时，loga(x﹣1)=loga1=0恒成立，
故命题p：∀a∈(0，1)∪(1，+∞)，函数f(x)=loga(x﹣1)的图象过点(2，0)，为真命题;
∀x∈N，x3≥x2恒成立，故命题q：∃x∈N，x3
故选：B
4.如图中的三个直角三角形是一个体积为35cm3的几何体的三视图，则侧视图中的h( )
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
【考点】L7：简单空间图形的三视图.
【分析】由已知中的三视图得几何体是三棱锥，计算出底面面积，由锥体体积公式，即可求出高.
【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥，
其底面面积为S= ×5×6=15，高为h，
所以该几何体的体积为
S= Sh= ×15h=35，解得h=7(cm).
故选：C.
5.已知x，y满足 ，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )
A.4 B. C. D.
【考点】7C：简单线性规划.
【分析】作出不等式组 对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论.
【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由 ，解得 即A(1，1)，此时z=2×1+1=3，
当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，
由 ，解得 ，
即B(a，a)，此时z=2×a+a=3a，
∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，
即a= .
故选：D.
6.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a= ，b+c=3，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.2
【考点】HR：余弦定理;HP：正弦定理.
【分析】由余弦定理可得：a2=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC= bcsinA即可求值.
【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA，
∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，
∴S△ABC= bcsinA= = ，
故选：B.
7.将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调区间是( )
A.[4k+1，4k+3](k∈Z) B.[2k+1，2k+3](k∈Z) C.[2k+1，2k+2](k∈Z) D.[2k﹣1，2k+2](k∈Z)
【考点】HJ：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解.
【解答】解：∵将函数f(x)= cos(πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数解析式为：y= cos( πx);
再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的解析式为：g(x)= cos[ π(x﹣1)];
∴可得： ，
∵由2k ≤ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，
可得函数g(x)的单调递减区间是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，
由2kπ﹣ ≤ ≤2k ，k∈Z，解得：4k﹣1≤x≤4k+1，k∈Z，
可得函数g(x)的单调递增区间是：[4k﹣1，4k+1]，k∈Z，
对比各个选项，只有A正确.
故选：A.
8.若直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，则 + 最小值( )
A.2 B.6 C.12 D.3+2
【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】根据直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，建立m，n的关系，利用基本不等式即可求 + 的最小值.
【解答】解：∵直线2mx﹣ny﹣2=0(m>0，n>0)过点(1，﹣2)，
∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，
∵ + =( + )(m+n)=3+ + ≥3+2 ，
当且仅当 = ，即n= m时取等号，
∴ + 的最小值为3+2 ，
故选：D.
9.已知函数f(x)= x2+cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】3O：函数的图象.
【分析】由于f(x)= x2+cosx，得f′(x)= x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x= 代入f′( )= ﹣sin = ﹣1<0，排除C，只有A适合.
【解答】解：由于f(x)= x2+cosx，
∴f′(x)= x﹣sinx，
∴f′(﹣x)=﹣f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，
又当x= 时，f′( )= ﹣sin = ﹣1<0，排除C，只有A适合，
故选：A.
10.点F为双曲线C： ﹣ =1(a，b>0)的焦点，过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，与另一条渐近线交于点B.若3 + =0，则双曲线C的离心率是( )
A. B. C. D.
【考点】KC：双曲线的简单性质.
【分析】联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值.
【解答】解：双曲线C： ﹣ =1的渐近线方程为y=± x，
设F(c，0)，由OA⊥FA，
且OA的方程为y= x，OB的方程为y=﹣ x，
直线AB的方程为y=﹣ (x﹣c)，
由 解得A( ， )，
由 解得B( ，﹣ )
由3 + =0，即3 + = ，
即3( ﹣c， )+( ﹣c，﹣ )=0
可得3( ﹣c)+ ﹣c=0，
即3a2+ =4c2，
由b2=c2﹣a2，化简可得3a4﹣5a2c2+2c4=0，
即(a2﹣c2)(3a2﹣2c2)=0，
即a2=c2，(舍)或3a2=2c2，
即c2= a2，c= a= a，可得e= = .
故选：B.
二、填空题：(本题共5个小题，每小题5分，共25分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置)
11.在△ABC中，若b=1，c= ，∠C= ，则a= 1 .
【考点】HT：三角形中的几何计算.
【分析】先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a.
【解答】解：在△ABC中由正弦定理得 ，
∴sinB= ，
∵b
故B= ，则A=
由正弦定理得
∴a= =1
故答案为：1
12.已知实数x，y满足不等式组 ，则2x+y的最大值为 5 .
【考点】7C：简单线性规划.
【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点A(3，0)时，z取最大值，代值计算可得.
【解答】解：作出不等式组 ，所对应的可行域(如图阴影)，
变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，由 ，
可得A(2，1)平移直线y=﹣2x可知，当
直线经过点A(2，1)时，z取最大值，
代值计算可得z=2x+y的最大值为：5.
故答案为：5.
13.双曲线 的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是 3 .
【考点】KC：双曲线的简单性质.
【分析】求得双曲线的a=3，由离心率公式可得c=6，解得b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值.
【解答】解：双曲线 的a=3，c= ，
由e= =2，即有c=2a=6，
即 =6，解得b=3 .
渐近线方程为y=± x，即为 x±3y=0，
则双曲线的焦点(0，6)到渐近线的距离是 =3 .
故答案为：3 .
14.已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为 .
【考点】CF：几何概型.
【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积.欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可.
【解答】解：根据几何概型得：
取到的点到M的距离小1的概率：
p= =
= = .
故答案为： .
15.给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;
②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2﹣y2=1，则函数y=f(x)可能是奇函数;
③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2< 成立的概率是
④函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)恒为正，则 实数a的取值范围是(﹣∞， ).
其中真命题的序号是 ①②④ .(请填上所有真命题的序号)
【考点】2K：命题的真假判断与应用.
【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断.
②根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断.
③根据几何概型的概率公式进行判断.
④利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可.
【解答】解：①命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”;故①正确，
②函数y=f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2﹣y2=1，则函数y=f(x)可能是奇函数;正确，当点P的坐标满足y= 时，函数f(x)为奇函数.故②正确，
③若a，b∈[0，1]，则不等式 成立的概率是 .如图.所以③错误
④因为函数y=log2(x2﹣ax+2)在[2，+∞)上恒为正，
所以在[2，+∞)上x2﹣ax+2>1恒成立，
即：在[2，+∞)上 恒成立，
令 ，
因为x≥2，所以 ，
所以g(x)在[2，+∞)上为增函数，
所以：当x=2时，g(x)的最小值为g(2)= ，
所以 .则实数a的取值范围是(﹣∞， ).故④正确，
故答案为：①②④
三、解答题(共6个题，共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置)
16.植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第l组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的部分频率分布表如下：
区间 人数 频率
第1组 [25，30) 50 0.1
第2组 [30，35) 50 0.1
第3组 [35，40) a 0.4
第4组 [40，45) 150 b
(1)求a，b的值;
(2)现在要从年龄较小的第l，2，3组中用分层抽样的方法随机抽取6人担任联系人，在第l，2，3组抽取的义工的人数分别是多少?
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率.
【考点】B7：频率分布表.
【分析】(1)根据频率= 求出参加活动的总人数，再求a、b的值;
(2)计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数;
(3)利用列举法写出从6人中随机抽取2人的所有基本事件，再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可.
【解答】解：(1)根据题意知，50÷0.1=500，
所以共有500人参加活动;
a=500×0.4=200，b= =0.3;
(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，
利用分层抽样在300名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6× =1，
第2组的人数为6× =1，
第3组的人数为6× =4，
∴第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人;
(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，
第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，
则从6人中抽取2人的所有可能结果为：
(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，
(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，
(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，
(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种.
其中2人年龄都不在第3组的有：(A，B)，共1种;
所以至少有1人年龄在第3组的概率为P=1﹣ = .
17.现有A，B，C三种产品需要检测，产品数量如表所示：
产品 A B C
数量 240 240 360
已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件.
(I)求三种产品分别抽取的件数;
(Ⅱ)已知抽取的A，B，C三种产品中，一等品分别有1件，2件，2件.现再从已抽取的A，B，C三种产品中各抽取1件，求3件产品都是一等品的概率.
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B3：分层抽样方法.
【分析】(I)设出A、B产品均抽取了x件，利用分层抽样时对应的比例相等，列出方程求出x的值即可;
(Ⅱ)对抽取的样本进行编号，利用列举法求出对应的事件数，计算概率即可.
【解答】解：(I)设A、B产品均抽取了x件，则C产品抽取了7﹣2x件，
则有： = ，
解得x=2;
所以A、B产品分别抽取了2件，C产品抽取了3件;
(Ⅱ)记抽取的A产品为a1，a2，其中a1是一等品;
抽取的B产品是b1，b2，两件均为一等品;
抽取的C产品是c1，c2，c3，其中c1，c2是一等品;
从三种产品中各抽取1件的所有结果是
{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b1c3}，{a1b2c1}，{a1b2c2}，{a1b2c3}，
{a2b1c1}，{a2b1c2}，{a2b1c3}，{a2b2c1}，{a2b2c2}，{a2b2c3}共12个;
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的;
其中3件产品都是一等品的有：
{a1b1c1}，{a1b1c2}，{a1b2c1}，{a1b2c2}共4个;
因此3件产品都是一等品的概率P= = .
18.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点.
(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积.
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积;LY：平面与平面垂直的判定.
【分析】(I)由BB1⊥平面ABC可知BB1⊥AE，又AE⊥BC可得AE⊥平面BCC1B1，从而平面AEF⊥平面B1BCC1;
(II)由(1)知AE为棱锥A﹣B1EF的高.于是V =V = .
【解答】解：(I)∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，
∴AE⊥BB1，
∵E是正三角形ABC的边BC的中点，
∴AE⊥BC，
又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，
∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1.
(II)∵三棱柱所有的棱长均为2，
∴AE= ，
∴S =2×2﹣ ﹣ = ，
由(I)知AE⊥平面B1BCC1
∴ .
19.已知数列{an}中，a1=2，且 .
(I)求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=n(an﹣1)，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn<4.
【考点】8E：数列的求和;88：等比数列的通项公式.
【分析】(I)利用递推关系变形可得an﹣1= ，即可证明;
(II)利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可证明.
【解答】证明：(I) ，又a1﹣1=1≠0
∴数列{an﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列.
∴ ，得 .
(II) ，
设 …①
则 …②
①﹣②得： ，
∴ ，
，又 ，
∴数列{Sn}是递增数列，故Sn≥S1=1，
∴1≤Sn<4.
20.已知椭圆C： ，离心率为 .
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点 ，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|.求直线l的方程.
【考点】K4：椭圆的简单性质.
【分析】(I)由离心率公式和点满足椭圆方程，及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程;
(Ⅱ)讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为y=kx+ (k≠0)，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由|AM|=|AN|，运用两点的距离公式，化简整理可得k的方程，解方程可得k，进而得到所求直线方程.
【解答】解：(I)由题意可得e= = ，
+ =1，且a2﹣b2=c2，
解得a= ，b=1，
即有椭圆的方程为 +y2=1;
(Ⅱ)若直线的斜率不存在，M，N为椭圆的上下顶点，
即有|AM|=2，|AN|=1，不满足题设条件;
设直线l：y=kx+ (k≠0)，与椭圆方程 +y2=1联立，
消去y，可得(1+3k2)x2+9kx+ =0，
判别式为81k2﹣4(1+3k2)• >0，化简可得k2> ，①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x1+x2=﹣ ，
y1+y2=k(x1+x2)+3=3﹣ = ，
由|AM|=|AN|，A(0，﹣1)，可得
= ，
整理可得，x1+x2+(y1+y2+2)( )=0，(y1≠y2)
即为﹣ +( +2)•k=0，
可得k2= ，即k=± ，
代入①成立.
故直线l的方程为y=± x+ .
21.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左焦点F1与抛物线y2=﹣4 x的焦点重合，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点.当直线l经过椭圆C的一个短轴端点时，与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否在x轴上存在定点M，使 • 为定值?若存在，请求出定点M及定值;若不存在，请说明理由.
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题;K3：椭圆的标准方程.
【分析】(1)求得抛物线的焦点坐标，可得c= ，即a2﹣b2=3，求得直线经过(﹣c，0)和(0，b)的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，结合离心率公式可得b，a，进而得到椭圆方程;
(2)假设直线l的斜率存在，设直线的方程为y=k(x+ )，代入椭圆方程x2+4y2=4，可得x的方程，运用韦达定理，设出M(m，0)，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得m，以及向量数量积的值;再讨论直线l的斜率不存在，求得A，B，验证成立.
【解答】解：(1)抛物线y2=﹣4 x的焦点为(﹣ ，0)，
由题意可得c= ，即a2﹣b2=3，
由直线l经过(﹣c，0)和(0，b)，可得直线l：bx﹣cy+bc=0，
直线l与原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切，可得
=e= = ，解得b=1，则a=2，
即有椭圆的方程为 +y2=1;
(2)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x+ )，
代入椭圆方程x2+4y2=4，可得(1+4k2)x2+8 k2x+12k2﹣4=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
设M(m，0)， =(m﹣x1，﹣y1)， =(m﹣x2，﹣y2)，
• ═(m﹣x1)(m﹣x2)+y1y2=m2﹣m(x1+x2)+x1x2+k2(x1+ )(x2+ )
=m2+( k2﹣m)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+3k2
=m2+( k2﹣m)(﹣ )+(1+k2)• +3k2
= ，
要使 • 为定值，则 =4，
解得m=﹣ ，即有 • =﹣ .
当直线l的斜率不存在时，A(﹣ ，﹣ )，B(﹣ ， )，
=(﹣ ， )， =(﹣ ，﹣ )，
可得 • =﹣ .
则在x轴上存在定点M(﹣ ，0)，使得 • 为定值﹣ .
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