2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷及答案
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2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷题目
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}，B={x|y=ln(2﹣x)}，则A∩B=( )
A.{x|﹣1
2.已知 ，则复数z+5的实部与虚部的和为( )
A.10 B.﹣10 C.0 D.﹣5
3.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表(单位：万元)：
广告费x 2 3 4 5 6
销售额y 29 41 50 59 71
由表可得到回归方程为 =10.2x+ ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( )
A.101.2 B.108.8 C.111.2 D.118.2
5.设a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x>1)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a
6.哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )
A.40 B.60 C.120 D.240
7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B.27π C.27 π D.
8.设等差数列{an}满足3a8=5a15，且 ，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为( )
A. B.S24 C.S25 D.S26
9.已知变量x，y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最小值为2，则 + 的最小值为( )
A.2+ B.5+2 C.8+ D.2
10.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0，0<φ< )的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x= 对称，若对于任意的x∈[0， ]，都有m2﹣3m≤f(x)，则实数m的取值范围为( )
A.[1， ] B.[1，2] C.[ ，2] D.[ ， ]
11.如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是( )
A.(6，10) B.(8，12) C.[6，8] D.[8，12]
12.若关于x的方程(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|(e为自然对数的底数)有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是( )
A.( ，+∞) B.(e，+∞) C.(1，e) D.(1， )
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知n= (2x+1)dx，则( ﹣ n的展开式中x2的系数为 .
14.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 .
15.在直角三角形△ABC中， ， ，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得 ，则 = .
16.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f(n)= (n∈N*)的最小值为 .
三、解答题：本大题共5小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4.
(Ⅰ) 求∠ACP;
(Ⅱ) 若△APB的面积是 ，求sin∠BAP.
18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：
古文迷 非古文迷 合计
男生 26 24 50
女生 30 20 50
合计 56 44 100
(Ⅰ)根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关?
(Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数;
(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
k0 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
19.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证：AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1，AB= ，求二面角B﹣AD﹣E的大小.
20.在平面直角坐标系中，直线 不过原点，且与椭圆 有两个不同的公共点A，B.
(Ⅰ)求实数m取值所组成的集合M;
(Ⅱ)是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补.若存在，求出所有定点P的坐标;若不存在，请说明理由.
21.已知函数f(x)=lnx+ .
(Ⅰ) 若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 证明：当a≥ ，b>1时，f(lnb)> .
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： (a为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 .
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)过点M(﹣1，0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3，求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.
2018届成都市九校联考高考理科数学模拟试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}，B={x|y=ln(2﹣x)}，则A∩B=( )
A.{x|﹣1
【考点】1E：交集及其运算.
【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出B，再根据定义写出A∩B.
【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1
B={x|y=ln(2﹣x)}={x|2﹣x>0}={x|x<2}，
则A∩B={x|﹣1
故选：B.
2.已知 ，则复数z+5的实部与虚部的和为( )
A.10 B.﹣10 C.0 D.﹣5
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义、共轭复数的定义即可得出.
【解答】解： ，∴ =(1+2i)(2+i)=5i，可得z=﹣5i
则复数z+5=5﹣5i的实部与虚部的和为：5﹣5=0.
故选：C.
3.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】EF：程序框图.
【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解.
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=16，b=24
满足条件a≠b，不满足条件a>b，b=24﹣16=8，
满足条件a≠b，满足条件a>b，a=16﹣8=8，
不满足条件a≠b，输出a的值为8.
故选：C.
4.广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表(单位：万元)：
广告费x 2 3 4 5 6
销售额y 29 41 50 59 71
由表可得到回归方程为 =10.2x+ ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为( )
A.101.2 B.108.8 C.111.2 D.118.2
【考点】BK：线性回归方程.
【分析】求出数据中心，代入回归方程求出 ，再将x=10代入回归方程得出答案.
【解答】解：由题意， =4， =50.
∴50=4×10.2+ ，解得 =9.2.∴回归方程为 =10.2x+9.2.
∴当x=10时， =10.2×10+9.2=111.2.
故选：C.
5.设a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x>1)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a
【考点】4C：指数函数单调性的应用.
【分析】利用指数函数y=ax和对数函数的单调性，比较大小
【解答】解：∵a=20.3<21=2且a=20.3>20=1，
∴1
又∵b=0.32<0.30=1，
∵x>1，∴c=logx(x2+0.3)>logxx2=2，
∴c>a>b.
故选B
6.哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )
A.40 B.60 C.120 D.240
【考点】D8：排列、组合的实际应用.
【分析】本题是一个计数问题，由题意可知，可分两步完成计数，先对四名大学生分组，分法有 种，然后再排到5个部门的两个部门中，排列方法有A52，计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数，再选出正确选项
【解答】解：此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为 种，
第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有A52，
故不同的安排方案有 A52=60种，
故选：B.
7.如图为某几何体的'三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B.27π C.27 π D.
【考点】L!：由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案.
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，
其底面是边长为3的正方形，且高为3，
其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，
所以外接球半径R满足：2R= = ，
所以外接球的表面积为S=4πR2=27π.
故选：B.
8.设等差数列{an}满足3a8=5a15，且 ，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为( )
A. B.S24 C.S25 D.S26
【考点】85：等差数列的前n项和.
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由3a8=5a15，利用通项公式化为2a1+49d=0，由 ，可得d<0，Sn=na1+ d= (n﹣25)2﹣ d.利用二次函数的单调性即可得出.
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵3a8=5a15，∴3(a1+7d)=5(a1+14d)，化为2a1+49d=0，
∵ ，∴d<0，∴等差数列{an}单调递减，
Sn=na1+ d= + d= (n﹣25)2﹣ d.
∴当n=25时，数列{Sn}取得最大值，
故选：C.
9.已知变量x，y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最小值为2，则 + 的最小值为( )
A.2+ B.5+2 C.8+ D.2
【考点】7C：简单线性规划.
【分析】画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式，利用基本不等式求解 + 的最小值.
【解答】解：约束条件对应的 区域如图：目标函数z=ax+by(a>0，b>0)经过C时取最小值为2，
所以a+b=2，
则 + = ( + )(a+b)= (4+ )
≥2+ =2+ ;
当且仅当 a=b，并且a+b=2时等号成立;
故选A.
10.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0，0<φ< )的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x= 对称，若对于任意的x∈[0， ]，都有m2﹣3m≤f(x)，则实数m的取值范围为( )
A.[1， ] B.[1，2] C.[ ，2] D.[ ， ]
【考点】H2：正弦函数的图象.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象和性质，正弦函数的定义域和值域，求得实数m的取值范围.
【解答】解：∵函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0，0<φ< )的图象在y轴上的截距为1，
∴Asinφ﹣ =1，即Asinφ= .
∵函数f(x)=Asin(2x+φ)﹣ 的图象关于直线x= 对称，∴2• +φ=kπ+ ，k∈Z，∴φ= ，
∴A•sin = ，∴A= ，∴f(x)= sin(2x+ )﹣ .
对于任意的x∈[0， ]，都有m2﹣3m≤f(x)，
∵2x+ ∈[ ， ]，sin(2x+ )∈[﹣ ，1]， sin(2x+ )∈[﹣ ， ]，f(x)∈[﹣2， ﹣1]，
∴m2﹣3m≤﹣2，求得1≤m≤2，
故选：B.
11.如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y2﹣4x﹣12=0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是( )
A.(6，10) B.(8，12) C.[6，8] D.[8，12]
【考点】K8：抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB，确定B点横坐标的范围，即可得到结论.
【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F(2，0)，
由抛物线定义可得|AF|=xA+2，
圆(x﹣2)2+y2=16的圆心为(2，0)，半径为4，
∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB，
由抛物线y2=8x及圆(x﹣2)2+y2=16可得交点的横坐标为2，
∴xB∈(2，6)
∴6+xB∈(8，12)
故选B.
12.若关于x的方程(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|(e为自然对数的底数)有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是( )
A.( ，+∞) B.(e，+∞) C.(1，e) D.(1， )
【考点】54：根的存在性及根的个数判断.
【分析】令g(x)=|x﹣2|ex，则方程有6解等价于g2(x)﹣2ag(x)+a=0有6解，判断g(x)的单调性得出g(x)=t的根的分布情况，得出方程t2﹣2at+a=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出a的范围.
【解答】解：∵(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，
∴(x﹣2)2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0，
令g(x)=|x﹣2|ex= ，则g′(x)= ，
∴当x≥2或x<1时，g′(x)>0，当1
∴g(x)在(﹣∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，
∴当x=1时，g(x)取得极大值t(1)=e，
又x→﹣∞时，g(x)→0，g(2)=0，x→+∞时，g(x)→+∞，
作出g(x)的函数图象如图所示：
令g(x)=t，
由图象可知：当0e时，方程g(x)=t有1解;
当t=e时，方程g(x)=t有2解;当t<0时，方程g(x)=t无解.
∵方程(x﹣2)2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0有6解，
即g2(x)﹣2ag(x)+a=0有6解，
∴关于t的方程t2﹣2at+a=0在(0，e)上有2解，
∴ ，解得1
故选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.已知n= (2x+1)dx，则( ﹣ n的展开式中x2的系数为 ﹣18 .
【考点】DB：二项式系数的性质.
【分析】利用定积分先求出n=6，再利用二项式定理通项公式求出Tr+1= ，由此能求出( ﹣ n的展开式中x2的系数.
【解答】解：n= (2x+1)dx=(x2+x)| =6，
∴( ﹣ n=( ﹣ 6，
Tr+1= =(36﹣r)(﹣1)r ，
令 =2，得r=5，
∴( ﹣ n的展开式中x2的系数为：(36﹣5)(﹣1)5 =﹣18.
故答案为：﹣18.
14.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 .
【考点】KC：双曲线的简单性质.
【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨= =2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e= = ，即可求得C的离心率.
【解答】解：设双曲线方程： (a>0，b>0)，
由题意可知，将x=c代入，解得：y=± ，
则丨AB丨= ，
由丨AB丨=2×2a，
则b2=2a2，
∴双曲线离心率e= = = ，
故答案为： .
15.在直角三角形△ABC中， ， ，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得 ，则 = 6 .
【考点】9V：向量在几何中的应用.
【分析】据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A(0，3)，并设M(x，y)，D(x′，y′)，B(b，0)，这样根据条件 即可得到 ，即得到 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值.
【解答】解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A(0，3)，设M(x，y)，B(b，0)，D(x′，y′);
∴由 得：
3(x′﹣x，y′﹣y)=(b﹣x，﹣y)+2(﹣x，3﹣y);
∴ ;
∴ ;
∴ .
故答案为：6.
16.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f(n)= (n∈N*)的最小值为 .
【考点】8E：数列的求和.
【分析】对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则 ﹣an=2，利用等差数列的求和公式可得Sn.f(n)= = =n+1+ ﹣1，令g(x)=x+ (x≥1)，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.
【解答】解：∵对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则 ﹣an=2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2.
∴Sn=2n+ =n+n2.
则f(n)= = =n+1+ ﹣1，
令g(x)=x+ (x≥1)，则g′(x)=1﹣ = ，可得x∈[1， 时，函数g(x)单调递减;x∈ 时，函数g(x)单调递增.
又f(7)=14+ ，f(8)=14+ .
∴f(7)
∴f(n)= (n∈N*)的最小值为 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共5小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4.
(Ⅰ) 求∠ACP;
(Ⅱ) 若△APB的面积是 ，求sin∠BAP.
【考点】HR：余弦定理;HP：正弦定理.
【分析】(Ⅰ) 在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等边三角形，即可得解.
(Ⅱ) 法1：由已知可求∠APB=120°.利用三角形面积公式可求PB=3.进而利用余弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP= 的值.
法2：作AD⊥BC，垂足为D，可求： ，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求 ， .利用两角差的正弦函数公式可求sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)的值.
【解答】(本题满分为12分)
解：(Ⅰ) 在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，
由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…
所以22=AP2+(4﹣AP)2﹣2•AP•(4﹣AP)•cos60°，
整理得AP2﹣4AP+4=0，…
解得AP=2.…
所以AC=2.…
所以△APC是等边三角形.…
所以∠ACP=60°.…
(Ⅱ) 法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°.…
因为△APB的面积是 ，所以 .…
所以PB=3.…
在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，
所以 .…
在△APB中，由正弦定理得 ，…
所以sin∠BAP= = .…
法2：作AD⊥BC，垂足为D，
因为△APC是边长为2的等边三角形，
所以 .…
因为△APB的面积是 ，所以 .…
所以PB=3.…
所以BD=4.
在Rt△ADB中， ，…
所以 ， .
所以sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…
= = .…
18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：
古文迷 非古文迷 合计
男生 26 24 50
女生 30 20 50
合计 56 44 100
(Ⅰ)根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关?
(Ⅱ)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数;
(Ⅲ)现从(Ⅱ)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d.
参考数据：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
k0 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
【考点】BK：线性回归方程.
【分析】(Ⅰ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论;
(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，即可得出结论;
(Ⅲ)ξ的所有取值为1，2，3.求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列与数学期望.
【解答】解：(Ⅰ)由列联表得K2= ≈0.6494<0.708，
所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关.…
(Ⅱ)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为 =3人，“非古文迷”有 =2人.
即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人…
(Ⅲ)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3.
P(ξ=1)= = ，P(ξ=2)= = ，P(ξ=3)= = .…
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
于是Eξ=1× +2× +3× = .…
19.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体.
(Ⅰ)求证：AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1，AB= ，求二面角B﹣AD﹣E的大小.
【考点】MT：二面角的平面角及求法;LW：直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ) 只需证明DC⊥AB，由AD⊥AB，DC∩AD=D，得AB⊥平面ADC
(Ⅱ) 易得∴ ，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D(0，0，0)，B( ，0，0)，C(0， ，0)，E( ， ，0)，A( )，
求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，由cos ，求得二面角B﹣AD﹣E的大小为600.
【解答】解：(Ⅰ)证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
又DB⊥DC，所以DC⊥平面ABD…
因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB…
又AD⊥AB，DC∩AD=D，所以AB⊥平面ADC.…
(Ⅱ)∵AB= ，AD=1.∴DB=
依题意△ABD∽△BDC，
所以 ，即 .∴ …
如图所示，建立空间直角坐标D﹣xyz，则D(0，0，0)，B( ，0，0)，C(0， ，0)，
E( ， ，0)，A( )，
， ).…
由(Ⅰ)知平面DAB的法向量 .…
设平面ADE的法向量
由 ，令x= ，可取 ).…
所以cos =﹣ .…
由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，
所以二面角B﹣AD﹣E的大小为600.…
20.在平面直角坐标系中，直线 不过原点，且与椭圆 有两个不同的公共点A，B.
(Ⅰ)求实数m取值所组成的集合M;
(Ⅱ)是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补.若存在，求出所有定点P的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由直线 不过原点，知m≠0，将 与 联立，得： ，由此利用根的判别式，能求出实数m的范围组成的集合M.
(2)假设存在定点P(x0，y0)使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，则kPA+kPB=0，令 ，得： ，由此利用韦达定理能求出所有定点P的坐标.
【解答】解：(1)因为直线 不过原点，所以m≠0，
将 与 联立，消去y得： ，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，
所以△=8m2﹣16(m2﹣4)>0，解得 ，
所以实数m的范围组成的集合M是 ;
(2)假设存在定点P(x0，y0)使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，
即kPA+kPB=0，令 ，
所以 ，
整理得： ，
由(1)知x1，x2是 的两个根，
所以 ，
代入(*)化简得 ，
由题意 解得 或
所以定点P的坐标为 或 ，
经检验，满足题意，
所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，
坐标为 或 .
21.已知函数f(x)=lnx+ .
(Ⅰ) 若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 证明：当a≥ ，b>1时，f(lnb)> .
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值;6B：利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)法一：求出函数f(x)的导数，得到函数的单调区间，求出f(x)的最小值，从而求出a的范围即可;
法二：求出a=﹣xlnx，令g(x)=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，从而求出a的范围即可;
(Ⅱ)令h(x)=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可.
【解答】解：(Ⅰ)法1：函数 的定义域为(0，+∞).
由 ，得 .…
因为a>0，则x∈(0，a)时，f'(x)<0;x∈(a，+∞)时，f'(x)>0.
所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增.…
当x=a时，[f(x)]min=lna+1.…
当lna+1≤0，即00，则函数f(x)有零点.…
所以实数a的取值范围为 .…
法2：函数 的定义域为(0，+∞).
由 ，得a=﹣xlnx.…
令g(x)=﹣xlnx，则g'(x)=﹣(lnx+1).
当 时，g'(x)>0; 当 时，g'(x)<0.
所以函数g(x)在 上单调递增，在 上单调递减.…
故 时，函数g(x)取得最大值 .…
因而函数 有零点，则 .…
所以实数a的取值范围为 .…
(Ⅱ)证明：令h(x)=xlnx+a，则h'(x)=lnx+1.
当 时，h'(x)<0;当 时，h'(x)>0.
所以函数h(x)在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， .…
于是，当a≥ 时， .①…
令φ(x)=xe﹣x，则φ'(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x(1﹣x).
当00;当x>1时，f'(x)<0.
所以函数φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.
当x=1时， .…
于是，当x>0时， .②…
显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当x>0， 时，xlnx+a>xe﹣x.…
因为b>1，所以lnb>0.
所以lnb•ln(lnb)+a>lnb•e﹣lnb.…
所以 ，即 .…
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： (a为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 .
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)过点M(﹣1，0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程;QH：参数方程化成普通方程.
【分析】(1)利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)利用参数的几何意义，即可求点M到A，B两点的距离之积.
【解答】解：(1)曲线C： (a为参数)，化为普通方程为： ，
由 ，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0.
(2)直线l1的参数方程为 (t为参数)，代入 ，化简得： ，得t1t2=﹣1，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=1.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3，求实数a的取值范围;
(Ⅱ) 若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.
【考点】R5：绝对值不等式的解法;R4：绝对值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可;(Ⅱ)基本基本不等式的性质证明即可.
【解答】解：(Ⅰ) 因为f(1)<3，所以|a|+|1﹣2a|<3.
①当a≤0时，得﹣a+(1﹣2a)<3，
解得 ，所以 ;
②当 时，得a+(1﹣2a)<3，
解得a>﹣2，所以 ;
③当 时，得a﹣(1﹣2a)<3，
解得 ，所以 ;
综上所述，实数a的取值范围是 .
(Ⅱ) 因为a≥1，x∈R，
所以f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|(x+a﹣1)﹣(x﹣2a)|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2.
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