2018届昆明市高考文科数学模拟试卷及答案
高中文科数学的备考，文科生们可以通过做高考文科数学模拟试题来巩固数学知识。以下是百分网小编为你整理的2018届昆明市高考文科数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届昆明市高考文科数学模拟试卷题目
一、选择题
1.设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x<6}，则A∩B=( )
A.{x|2≤x<6} B.{x|0≤x<6} C.{0，1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5}
2. =( )
A.﹣i B.i C.1 D.﹣1
3.一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为( )
A.25π B.50π C.100π D.200π
4.AQI(Air Quality Index，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度.AQI共分六级，从一级优(0～50)，二级良(51～100，)，三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染(大于300).下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数(按这个月共30天计算)为( )
A.3 B.4 C.12 D.21
5.已知非零向量 ，满足•=0，||=3，且与+的夹角为，则||=( )
A.6 B.3 C.2 D.3
6.若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=( )
A. B.﹣ C. D.﹣
7.已知F1、F2为双曲线C：﹣=1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为( )
A. B. C. +1 D.
8.在△ABC中，已知AB=，AC=，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于( )
A.1 B. C. D.2
9.定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为( )
A.2.69 B.2.70 C.2.71 D.2.72
10.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”是几何体的高，“幂”是截面面积.意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2(x≥0)，直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体(如图2所示)则旋转体D的体积是( )
A. B.6π C.8π D.16π
11.已知函数f(x)=，若方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是( )
A.(0，) B.[，) C.(，] D.(﹣∞，0]∪[，+∞)
12.设F为抛物线C：y2=8x，曲线y=(k>0)与C交于点A，直线FA恰与曲线y=(k>0)相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.已知实数x，y满足，则z=x+y的最大值为 .
14.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)，A、B是函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2，则f(1)= .
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 .
16.若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= .
三、解答题
17.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1.
(Ⅰ)证明数列{}是等差数列;
(Ⅱ)求数列{}的前n项和.
18.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;
(Ⅲ)在[1，1.5)，[1.5，2)这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率.
19.如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点.
(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积.
20.已知动点M(x，y)满足： +=2，M的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)过点F(1，0)作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若=λ1， =λ2，求证：λ1+λ2为定值.
21.已知函数f(x)=(2x2+x)lnx﹣(2a+1)x2﹣(a+1)x+b(a，b∈R).
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求b﹣a的最小值.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4，直线l的方程为x+y﹣12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;
(Ⅱ)在极坐标中，极角为θ(θ∈(0，))的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点(A异于极点O)，求的最大值.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1.
(Ⅰ)证明|am+bn+cp|≤1;
(Ⅱ)若abc≠0，证明++≥1.
2018届昆明市高考文科数学模拟试卷答案
一、选择题
1.设集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x<6}，则A∩B=( )
A.{x|2≤x<6} B.{x|0≤x<6} C.{0，1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5}
【考点】1E：交集及其运算.
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可.
【解答】解：∵集合A={x∈Z|x≥2}，B={x|0≤x<6}，
∴A∩B={2，3，4，5}，
故选：D
2. =( )
A.﹣i B.i C.1 D.﹣1
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解： =，
故选：A.
3.一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为( )
A.25π B.50π C.100π D.200π
【考点】LR：球内接多面体;LG：球的体积和表面积.
【分析】由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为=5，可得球的半径为，即可求出这个球的表面积.
【解答】解：由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为 =5 ，
∴球的半径为 ，
∴这个球的表面积为 =50π，
故选：B.
4.AQI(Air Quality Index，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度.AQI共分六级，从一级优(0～50)，二级良(51～100，)，三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染(大于300).下面是昆明市2017年4月份随机抽取的10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份质量优的天数(按这个月共30天计算)为( )
A.3 B.4 C.12 D.21
【考点】BA：茎叶图.
【分析】通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出30天空气质量是优的天数即可.
【解答】解：由茎叶图10天中有4天空气质量是优，
即空气优的概率是p= = ，
故30天中有 ×30=12天是优，
故选：C.
5.已知非零向量 ， 满足 • =0，| |=3，且 与 + 的夹角为 ，则| |=( )
A.6 B.3 C.2 D.3
【考点】9V：向量在几何中的应用;9S：数量积表示两个向量的夹角.
【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可.
【解答】解：非零向量 ， 满足 • =0，可知两个向量垂直，| |=3，且 与 + 的夹角为 ，
说明以向量 ， 为邻边， + 为对角线的.平行四边形是正方形，所以则| |=3.
故选：D.
6.若tanθ=﹣2，则sin2θ+cos2θ=( )
A. B.﹣ C. D.﹣
【考点】GI：三角函数的化简求值.
【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值.
【解答】解：sin2θ+cos2θ= = = =﹣ ，
故选：D.
7.已知F1、F2为双曲线C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在C的渐进线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，则C的离心率为( )
A. B. C. +1 D.
【考点】KC：双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可.
【解答】解：F1、F2为双曲线C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦点，
点P在C的渐近线上，PF1⊥x轴，若△PF1F2为等腰直角三角形，
可得： ，即：b=2a，可得c2﹣a2=4a2，
即e2=5，e>1，
解得e= ，
则C的离心率为 .
故选：A.
8.在△ABC中，已知AB= ，AC= ，tan∠BAC=﹣3，则BC边上的高等于( )
A.1 B. C. D.2
【考点】HS：余弦定理的应用;HT：三角形中的几何计算.
【分析】求出∠BAC的余弦函数值，然后求解BC的距离，通过求解三角形求解即可.
【解答】解：在△ABC中，已知AB= ，AC= ，tan∠BAC=﹣3，
可得cos∠BAC=﹣ =﹣ ，sin∠BAC= .
由余弦定理可得：BC= = =3，
设BC边上的高为h，
三角形面积为： = BC•h，
h= =1.
故选：A.
9.定义n!=1×2×3×…×n，例如1!=1，2!=1×2=2，执行右边的程序框图，若输入ɛ=0.01，则输出的e精确到e的近似值为( )
A.2.69 B.2.70 C.2.71 D.2.72
【考点】EF：程序框图.
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的e，n的值，当n=5时满足条件退出循环，输出e的值即可得解.
【解答】解：模拟程序的运行，可得
ɛ=0.01，e=1，n=1
执行循环体，e=2，n=2
不满足条件 <ɛ，执行循环体，e=2+0.5=2.5，n=3
不满足条件 <ɛ，执行循环体，e=2.5+ ，n=4
不满足条件 <ɛ，执行循环体，e=2.5+ + ，n=5
由于 ≈0.008<ɛ=0.01，满足条件 <ɛ，退出循环，输出e的值为2.5+ + =2.71.
故选：C.
10.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算的原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.“势”是几何体的高，“幂”是截面面积.意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D，它是由抛物线y=x2(x≥0)，直线y=4及y轴围成的封闭图形如图1所示绕y轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体(如图2所示)则旋转体D的体积是( )
A. B.6π C.8π D.16π
【考点】L5：旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】由题意，4x=π•22，求出x=π，再求出长方体的一半的体积即可.
【解答】解：由题意，4x=π•22，∴x=π，
∴旋转体D的体积是 =8π，
故选C.
11.已知函数f(x)= ，若方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同的根，则实数a的取值范围是( )
A.(0， ) B.[ ， ) C.( ， ] D.(﹣∞，0]∪[ ，+∞)
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程;54：根的存在性及根的个数判断.
【分析】由题意，方程f(x)=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围.
【解答】解：∵方程f(x)﹣ax=0恰有两个不同实数根，
∴y=f(x)与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴x>1时，y′= ，
设切点为(x0，y0)，k= ，
∴切线方程为y﹣y0= (x﹣x0)，
而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k= ，
∴直线l1的斜率为 ，
又∵直线l2与y= x+1平行，
∴直线l2的斜率为 ，
∴实数a的取值范围是[ ， )
故选：B.
12.设F为抛物线C：y2=8x，曲线y= (k>0)与C交于点A，直线FA恰与曲线y= (k>0)相切于点A，直线FA于C的准线交于点B，则 等于( )
A. B. C. D.
【考点】K8：抛物线的简单性质.
【分析】先根据抛物线的定义求出焦点坐标和准线方程，设A(x0，y0)，根据题意可求出A(1，2 )，继而求出答案.
【解答】解：F为抛物线C：y2=8x的焦点，则F(2，0)，其准线方程为x=﹣2，
设A(x0，y0)
∵y= ，
∴k=x0y0=2x0
∴y′=﹣ ，
∴直线AF的斜率为﹣ =﹣
∵kAF= =，
∴﹣ = ，
解得x0=1，
∴A(1，2 )，
∴AC=1+2=3，FD=4，
∴ = = ，
∴ = ，
∴AB=3，
∴ = ，
故选：B.
二、填空题
13.已知实数x，y满足 ，则z=x+y的最大值为 3 .
【考点】7C：简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
A(0，3)，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3.
故答案为：3.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)，A、B是函数y=f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|=2 ，则f(1)= .
【考点】HW：三角函数的最值.
【分析】由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2 求出ω，可得函数的解析式，即可求出f(1).
【解答】解：由题意可得 =2 ，∴ω= ，
∴函数f(x)=sin( x+ )，
∴f(1)= ，
故答案为： .
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，若不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为 (﹣∞，10] .
【考点】8I：数列与函数的综合.
【分析】先根据an=4n得到数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列，再根据等差数列的求和公式得到Sn=2n+2n2，原不等式转化为λ≤2(n+ )+2，根据基本不等式即可求出答案.
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且an=4n，
当n=1时，a1=4，
∵an﹣an﹣1=4n﹣4(n﹣1)=4，
∴数列{an}是以4为首项，以4为公差的等差数列，
∴Sn= =2n+2n2，
∵不等式Sn+8≥λn对任意的n∈N*都成立，
∴2n+2n2+8≥λn对任意的n∈N*都成立，
即λ≤2(n+ )+2，
∵n+ ≥2 =4，当且仅当n=2时取等号，
∴λ≤2×4+2=10，
故实数λ的取值范围为(﹣∞，10]，
故答案为：(﹣∞，10].
16.若关于x的不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= 4 .
【考点】74：一元二次不等式的解法.
【分析】画出函数f(x)= x2﹣3x+4的图象，可知f(x)min=1;分类讨论：a>1时，不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集分为两段区域，不符合题意;
有a≤1
【解答】解：画出函数f(x)= x2﹣3x+4= (x﹣2)2+1的图象，
可得f(x)min=f(2)=1，
由图象可知：若a>1，则不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集分两段区域，不符合已知条件，
因此a≤1，此时a≤x2﹣3x+4恒成立;
又∵不等式a≤ x2﹣3x+4≤b的解集为[a，b]，
∴a≤1
由 b2﹣3b+4=b，化为3b2﹣16b+16=0，解得b= 或b=4;
当b= 时，由 a2﹣3a+4﹣ =0，解得a= 或a= ，不符合题意，舍去;
∴b=4，此时a=0;
∴b﹣a=4.
故答案为：4.
三、解答题
17.已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1.
(Ⅰ)证明数列{ }是等差数列;
(Ⅱ)求数列{ }的前n项和.
【考点】8H：数列递推式;8E：数列的求和.
【分析】(Ⅰ)根据数列的递推公式可得数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列，
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得数列{ }是首项为2，公比为2的等比数列，再根据求和公式计算即可.
【解答】解：(1)∵a1=2，an+1=2an+2n+1，
∴ ﹣ = ﹣ = +1﹣ =1，
∵ =1，
∴数列{ }是首项为1，公差为1的等差数列，
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 =n，
∴ =2n，
∴数列{ }是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列{ }的前n项和Sn= =2n+1﹣2
18.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求图中a的值;
(Ⅱ)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;
(Ⅲ)在[1，1.5)，[1.5，2)这两组中采用分层抽样抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在一组的概率.
【考点】B3：分层抽样方法;CB：古典概型及其概率计算公式.
【分析】(Ⅰ)求出高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]的概率，即可求图中a的值;
(Ⅱ)确定2≤m<2.5，由0.50(m﹣2)=0.5﹣0.47，得m的值，即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;
(Ⅲ)确定基本事件的个数，即可得出结论.
【解答】解：(Ⅰ)由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，
由1﹣(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5a+0.5a，∴a=0.30;
(Ⅱ)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，
因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5，前4组频率和为0.47<0.5，
所以2≤m<2.5，
由0.50(m﹣2)=0.5﹣0.47，得m=2.06;
(Ⅲ)在[1，1.5)，[1.5，2)这两组中的人分别有15人、20人，采用分层抽样抽取7人，分别为3人、4人，再从7人中随机抽取2人，有 =21种，抽取的两人恰好都在一组，有 =9种，故所求概率为 .
19.如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点.
(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积.
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积;LW：直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)设PM交EF于N，连接DM，DN，由线面垂直的性质得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，进一步求得PD.即三棱锥P﹣ABC的高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积.
【解答】(Ⅰ)证明：∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC;
(Ⅱ)解：设PM交EF于N，连接DM，DN，
∵PM⊥平面EFD，DN⊂平面DEF，
∴PM⊥DN，
又E，F分别是PB，PC的中点，
∴N为EF的中点，也是PM的中点，
∴DN垂直平分PM，故PD=DM，
又DM为△ABC的中位线，则DM= =1，∴PD=1.
∵BC⊥AC，则 .
∴三棱锥P﹣ABC的体积
20.已知动点M(x，y)满足： + =2 ，M的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)过点F(1，0)作直线l交曲线E于P，Q两点，交y轴于R点，若 =λ1 ， =λ2 ，求证：λ1+λ2为定值.
【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题;J3：轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)由已知，可得动点N的轨迹是以C(﹣1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆，根据定义可得，a、c，可得曲线E的方程;
(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)，由 =λ1 ， ，点P在曲线E上可得 …①，同理可得： …②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根，λ1+λ2为定值﹣4.
【解答】解：(Ⅰ)由 + =2 ，可得点M(x，y)到定点A(﹣1，0)，B(1，0)的距离等于之和等于2 .
且AB ，所以动点N的轨迹是以C(﹣1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆，
且长轴长为2 ，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，
曲线E的方程为： ;
(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(0，y0)，
由 =λ1 ，(x1，y1﹣y0)=λ1(1﹣x1，﹣y1)，∴ ，
∵过点F(1，0)作直线l交曲线E于P，∴ ，
∴ …①
同理可得： …②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根，
∴λ1+λ2为定值﹣4.
21.已知函数f(x)=(2x2+x)lnx﹣(2a+1)x2﹣(a+1)x+b(a，b∈R).
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求b﹣a的最小值.
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性;6D：利用导数研究函数的极值.
【分析】(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=(4x+1)(lnx﹣1)=0，得x=e.x∈(0，e)时，f′(x)<0，∈(e，+∞)时，f′(x)>0.即可得函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)由题意得f′(x)=(4x+1)(lnx﹣a)，(x>0).可得函数f(x)的单调增区间为(ea，+∞)，减区间为(0，ea)即f(x)≥0恒成立，b≥e2a+ea.即b﹣a≥e2a+ea﹣a，构造函数g(t)=t2+t﹣lnt，(t>0)，g′(t)= .可得g(t)min=g( )= .即可得b﹣a的最小值.
【解答】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=(2x2+x)lnx﹣3x2﹣2x+b(x>0).
f′(x)=(4x+1)(lnx﹣1)，令f′(x)=0，得x=e.
x∈(0，e)时，f′(x)<0，∈(e，+∞)时，f′(x)>0.
函数f(x)的单调增区间为(e，+∞)，减区间为(0，e);
(Ⅱ)由题意得f′(x)=(4x+1)(lnx﹣a)，(x>0).
令f′(x)=0，得x=ea.
x∈(0，e a)时，f′(x)<0，∈(ea ，+∞)时，f′(x)>0.
函数f(x)的单调增区间为(ea，+∞)，减区间为(0，ea)
∴f(x)min=f(ea)=﹣e2a﹣ea+b，
∵f(x)≥0恒成立，∴f(ea)=﹣e2a﹣ea+b≥0，则b≥e2a+ea.
∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea=t，(t>0)，∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，
设g(t)=t2+t﹣lnt，(t>0)，g′(t)= .
当t∈(0， )时，g′(t)<0，当t 时，g′(t)>0.
∴g(t)在(0， )上递减，在( ，+∞)递增.
∴g(t)min=g( )= .
f(x)≥0恒成立，b﹣a的最小值为 .
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4，直线l的方程为x+ y﹣12=0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;
(Ⅱ)在极坐标中，极角为θ(θ∈(0， ))的射线m与曲线C，直线l分别交于A、B两点(A异于极点O)，求 的最大值.
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程;H9：余弦函数的定义域和值域.
【分析】(Ⅰ)利用直角坐标方程与极坐标方程的转化方法，分别写出曲线C与直线l的极坐标方程;
(Ⅱ)由题意|OA|=4cosθ，|OB|= ，利用三角函数知识，可得结论.
【解答】解：(Ⅰ)曲线C的方程为(x﹣2)2+y2=4，即x2+y2=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ;
直线l的方程为x+ y﹣12=0，极坐标方程为ρcosθ+ ρsinθ﹣12=0;
(Ⅱ)由题意|OA|=4cosθ，|OB|= ，
∴ = = + sin(2θ+ )，
∵θ∈(0， )，∴2θ+ ∈( ， π)，
∴sin(2θ+ )∈(﹣ 1]，
∴ 的最大值为 ，此时 .
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1.
(Ⅰ)证明|am+bn+cp|≤1;
(Ⅱ)若abc≠0，证明 + + ≥1.
【考点】R6：不等式的证明.
【分析】利用柯西不等式，即可证明结论.
【解答】证明：(Ⅰ)由柯西不等式，可得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2，
∵a2+b2+c2=1，m2+n2+p2=1，
∴1≥(am+bn+cp)2，
∴|am+bn+cp|≤1;
(Ⅱ)由柯西不等式，可得 + + =( + + )(a2+b2+c2)≥(m2+n2+p2)2=1，
∴ + + ≥1.
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