2018届常州市高三数学模拟试卷及答案
如何做到准确地把握高考数学的考点，那就是多做一些高考数学的模拟试卷，以下是百分网小编为你整理的2018届常州市高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届常州市高三数学模拟试卷题目
一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程
1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= .
2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .
3.函数f(x)= 的定义域为 .
4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是
5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为 .
6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为 .
7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为 .
8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 ﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为 .
9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为 .
10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为 .
11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且 • =1，则实数λ的值为 .
12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )= .
13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣ 的零点个数为 .
14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 .
二.解答题：本大题共6小题，共计90分
15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=
(1)求边c的长;
(2)求角B的大小.
16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1
(1)求证：E是AB中点;
(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.
(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);
(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.
18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为 ，椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程：
(2)过点D( ，﹣ )作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的
斜率之和为定值.
19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)
(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;
(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=
(1)求证：数列{ }为等比数列;
(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：
(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.
四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]
21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.
[选修4-2：矩阵与变换]
22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
[选修4-5：不等式选讲]
24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.
四.必做题：每小题0分，共计20分
25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .
(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;
(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn
(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1) tannθ;
(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].
2018届常州市高三数学模拟试卷答案
一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程
1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= {6，7} .
【考点】补集及其运算.
【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可.
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，
M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，
则∁UM={6，7}.
故答案为：{6，7}.
2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案.
【解答】解：由z+i= ，
得 = ，
则|z|= .
故答案为： .
3.函数f(x)= 的定义域为 {x|x> 且x≠1} .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可.
【解答】解：由题意得： ，
解得：x> 且x≠1，
故函数的定义域是{x|x> 且x≠1}，
故答案为：{x|x> 且x≠1}.
4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 24
【考点】伪代码.
【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，
由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案.
【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环
t=1×2=2，i=3;
当i=3时，满足循环条件，执行循环
t=2×3=6，i=4;
当i=4时，满足循环条件，执行循环
t=6×4=24，i=5;
当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24.
故答案为：24.
5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为 300 .
【考点】分层抽样方法.
【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.
【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，
其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，
∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，
∵高级中学共有900名学生，
∴每个个体被抽到的概率是 =
∴该校高二年级学生人数为 =300，
故答案为：300.
6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积.
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，
设正四棱锥的高为PO，连结AO，
则AO= AC= .
在直角三角形POA中，PO= = =1.
所以VP﹣ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .
故答案为： .
7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为 .
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率.
【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，
基本事件总数n= =6，
这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，
∴这两个数的和为3的倍数的槪率p= .
故答案为： .
8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 ﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值.
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，
则双曲线 ﹣ =l的右焦点为(2，0)，
即有c= =2，
不妨设a=1，
可得双曲线的离心率为e= =2.
故答案为：2.
9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为 2 .
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出 ，由此能求出a8的值.
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，
∴ ，
解得 ，
∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.
故答案为：2.
10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且 =2 ，则直线l的方程为 x﹣y﹣1=0 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论.
【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得(m2+1)y2+2my﹣4=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣
联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，
故答案为：x﹣y﹣1=0.
11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足 = + ，且 • =1，则实数λ的值为 ﹣ 或1 .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把 、 用 、 与λ表示出来，再求 • 即可.
【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足 = + ，
∴ ﹣ =λ ，
∴ =λ ;
又 = ﹣ =( +λ )﹣ = +(λ﹣1) ，
∴ • =λ •[ +(λ﹣1) ]
=λ • +λ(λ﹣1)
=λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1，
整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，
解得λ=﹣ 或λ=1，
∴实数λ的值为﹣ 或1.
故答案为：﹣ 或1.
12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )= 2 ﹣4 .
【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.
【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan(α+ )的值.
【解答】解：sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= .
又tan =tan( ﹣ )= = =2﹣ ，
∴tan(α+ )= = = =﹣ =2 ﹣4，
故答案为：2 ﹣4.
13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣ 的零点个数为 4 .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x<1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可.
【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，
令g(x)=lnx﹣ ，x≥1时函数是连续函数，
g(1)=﹣ <0，g(2)=ln2﹣ =ln >0，
g(4)=ln4﹣2<0，由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx﹣ ，有2个零点.
(结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点.)
当x<1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，
综上函数y=|f(x)|﹣ 的零点个数为：4个.
故答案为：4.
14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 1 .
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】由题意可得x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，求出y3﹣y2≥﹣ y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.
【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22>0，则x> ，y>0，
又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，
其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+ )=y(y﹣ )2≥0，
即y3﹣y2≥﹣ y，
当且仅当y= 时取得等号，
设f(x)=x3﹣x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2)，
当x= 时，f(x)的导数为 ×( ﹣2)= ，
可得f(x)在x= 处的切线方程为y= x﹣ .
由x3﹣x2≥ x﹣ ⇔(x﹣ )2(x+2)≥0，
当x= 时，取得等号.
则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣ ﹣ y≥ ﹣ =1.
当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1.
故答案为：1.
二.解答题：本大题共6小题，共计90分
15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=
(1)求边c的长;
(2)求角B的大小.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.
(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin .代入可得 ﹣16sin2B= ，化简即可得出.
【解答】解：(1)∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，
化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.
相加可得：2c2=8c，解得c=4.
(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.
由正弦定理可得： = = ，
又A﹣B= ，∴A=B+ ，C=π﹣(A+B)= ，可得sinC=sin .
∴a= ，b= .
∴ ﹣16sin2B= ，
∴1﹣ ﹣(1﹣cos2B)= ，即cos2B﹣ = ，
∴﹣2 ═ ，
∴ =0或 =1，B∈ .
解得：B= .
16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1
(1)求证：E是AB中点;
(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.
【分析】(1)利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论.
(2)利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.
【解答】证明：(1)连结BC1，取AB中点E′，
∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，
∴O为AC1的中点，
∵E′是AB的中点，
∴OE′∥BC1;
∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
∴OE′∥平面BCC1B1，
∵OE∥平面BCC1B1，
∴E，E′重合，
∴E是AB中点;
(2)∵侧面AA1C1C是菱形，
∴AC1⊥A1C，
∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，
∴AC1⊥平面A1BC，
∵BC⊂平面A1BC，
∴AC1⊥BC.
17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.
(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);
(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.
【考点】函数模型的.选择与应用.
【分析】(1)求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f(α);
(2)求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.
【解答】解：(1)设上底长为a，则S= ，
∴a= ﹣ ，
∴l= ﹣ + (0<α< );
(2)l′=h ，
∴0<α< ，l′<0， <α< ，l′>0，
∴ 时，l取得最小值 m.
18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为 ，椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程：
(2)过点D( ，﹣ )作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的
斜率之和为定值.
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：
(2)则直线PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣ ，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值.
【解答】解：(1)由题意可知：椭圆 + =l (a>b>0)，焦点在x轴上，2c=1，c=1，
椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1，
则椭圆的标准方程： ;
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A( ，0)，
由题意PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣ ，
则 ，整理得：(2k2+1)x2﹣(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0，
由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，
则y1+y2=k(x1+x2)﹣2 k﹣2 = ，
则kAP+kAQ= + = ，
由y1x2+y2x1=[k(x1﹣ )﹣ ]x2+[k(x2﹣ )﹣ ]x1=2kx1x2﹣( k+ )(x1+x2)=﹣ ，
kAP+kAQ= = =1，
∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.
19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)
(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;
(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数f(x)的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，根据函数的单调性求出a的范围即可;
(2)问题转化为(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可.
【解答】解：(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a，f′(x)=lnx+ +1﹣a，
若f(x)在(0，+∞)上单调递增，
则a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，
令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，
g′(x)= ，
令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0
故g(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，
故g(x)min=g(1)=2，
故0
(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，
即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，
①x≥1时，只需a≤(x+1)lnx恒成立，
令m(x)=(x+1)lnx，(x≥1)，
则m′(x)=lnx+ +1，
由(1)得：m′(x)≥2，
故m(x)在[1，+∞)递增，m(x)≥m(1)=0，
故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意;
②0
令n(x)=(x+1)lnx，(0
则n′(x)=lnx+ +1，由(1)n′(x)在(0，1)递减，
故n′(x)>n(1)=2，
故n(x)在(0，1)递增，故n(x)
故a≥0，而a为正实数，故a>0.
20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=
(1)求证：数列{ }为等比数列;
(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：
(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.
【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.
【分析】(1)数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，化为： =2× ，即可证明.
(2)由(1)可得： = ，可得 =n •4n﹣1.数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t.
(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1.
【解答】(1)证明：数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，
∴ = an+1，即 =2 ，
∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列.
(2)解：由(1)可得： = ，∴ =n •4n﹣1.
∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，
∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，
∴ = + ，
化为：16t=t2+48，解得t=12或4.
(3)解：数列{bn}是等差数列，由(2)可得：t=12或4.
①t=12时，bn= = ，Sn= ，
∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，
∴ × ﹣a14n2=16× ，
∴ = ，n=1时，化为：﹣ = >0，无解，舍去.
②t=4时，bn= = ，Sn= ，
对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，
∴ × ﹣a14n2=16× ，
∴n =4m，
∴a1= .∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*.
∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}.
四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]
21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.
【考点】弦切角.
【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长.
【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，
因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，
所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°;
又因为∠ACB=90°，
得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，
从而∠ABE=30°，
于是 .
[选修4-2：矩阵与变换]
22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 =[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另一个特征值.
【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.
【分析】(1)先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M;
(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2.
【解答】解：(1)设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，
则 =8 = ，
故 ，
由于矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).
则 = ，
故
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= .
(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，
故矩阵M的另一个特征值为2.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.
【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.
(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.
【解答】解：(1)ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4;因为 ，
所以 ，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.
化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即 .
[选修4-5：不等式选讲]
24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.
【考点】二维形式的柯西不等式.
【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值.
【解答】解：由柯西不等式可得
( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12
∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号.
∴ + + 的最大值是6，
故最大值为6.
四.必做题：每小题0分，共计20分
25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .
(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;
(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.
【分析】(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点， ， ， 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.
(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
【解答】解：(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，
， ， 方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.
则A(1，﹣1，0)，B(1，1，0)，C(﹣1，1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，…
设P(0，0，p)，则 =(﹣1，1，p)，又AP=2，
∴1+1+p2=4，∴p= ，
∵ = = =( )，
=( )，
∴ =(﹣1，1，﹣ )， =(0， ，﹣ )，
设异面直线MN与PC所成角为θ，
则cosθ= = = .
θ=30°，
∴异面直线MN与PC所成角为30°.
(2) =(﹣1，1，﹣ )， =(1，1，﹣ )， =( ，﹣ )，
设平面PBC的法向量 =(x，y，z)，
则 ，取z=1，得 =(0， ，1)，
设平面PNC的法向量 =(a，b，c)，
则 ，取c=1，得 =( ，2 ，1)，
设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，
则cosθ= = = .
∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .
26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn
(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1) tannθ;
(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].
【考点】数列的求和.
【分析】(1)利用sin = ，即可得出.
(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.
【解答】证明：(1)an=sin tannθ，
当n=2k(k∈N*)为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0;
当n=2k﹣1为奇函数时，an= •tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1) tannθ.
(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ.
∴S2n= = sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].
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