2018届北京东城区高三数学模拟试卷及答案
高考数学复习必不可少的是数学模拟试卷，我们在复习阶段需要通过多做数学模拟试卷来提升巩固基础知识点，以下是百分网小编为你整理的2018届北京东城区高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届北京东城区高三数学模拟试卷题目
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则复数 的虚部为 ( )
A.1 B. C. D.
3. 指数函数 且 在 上是减函数，则函数 在R上的 单调性为 ( )
A.单调递增 B.单调递减
C.在 上递增，在 上递减 D .在 上递减，在 上递增
4.已知命题p: ;命题q： ， 则下列命题中的真命题是 ( )
A. B. C. D.
5.在下列区间中，函数 的零点所在的区间为( )
A.( ，0) B.(0， ) C.( ， ) D.( ， )
6.设 ，则 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数 的图像关于 对称，则函数 的图像的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
8. 函数 的部分图象大致为 ( )
9.函数 的单调增区间与值域相同，则实数 的取值为 ( )
A. B. C. D.
10.在整数集 中，被7除所得余数为 的所有整数组成的一个“类”，记作 ，即
，其中 .给出如下五个结论：
① ; ② ;③ ;
④ ;
⑤“整数 属于同一“类””的充要条件是“ ”。
其中，正确结论的个数是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
11.已知 是定义在 上的偶函数，对于 ,都有 ,当 时， ，若 在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是 ( )
A.7 B.8 C.10 D.12
12.奇函数 定义域是 ， ，当 >0时，总有
>2 成立，则不等式 >0的解集为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
13.函数 在点 处切线的斜率为 .
14.由抛物线 ，直线 =0， =2及 轴围成的图形面积为 .
15. 点 是边 上的一点， 则 的长为_____.
16.已知函数 则关于 的不等式 的解集为 .
三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)
设 、 ， ， 。若"对于一切实数 ， ”是“对于一切实数 ， ”的充分条件，求实数 的取值范围。
18.(本小题满分12分)
函数 过点 ，且当 时，函数 取得最大值1.
(1) 将函数 的图 象向右平移 个单位得到函数 ，求函数 的表达式;
(2) 在(1)的条件下，函数 ，如果对于 ，都有 ，求 的最小值.
19.(本小题满分12分)
已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，
(1)若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C;
(2)若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足 时,求CE的长.
20. (本小题满分12分)
在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种趋势，假设育才网校的套题每日的销售 量 (单位：千套)与销售价格 (单位：元/套)满足的关系式 ( )，其中 与 成反比， 与 的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.
(1) 求 的表达式;
(2) 假设该网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出 的套数)，
试确定销售价格 的值，使育才网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
21. (本小题满分12分)
已知直线 与椭圆 相交于 、 两点.
(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 ，求椭圆的方程;
(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 为坐标原点)，当椭圆的离心率 时，求椭圆长轴长的最大值.
22. (本小题满分12分)
已知函数 R .
(1)当 时，求函数 的最小值;
(2)若 时, ,求实数 的取值范围;
(3)求证：
2018届北京东城区高三数学模拟试卷答案
选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 ( D )
A. B. C. D.
3.若复数 满足 ( 为虚数单位)，则复数 的虚部为 (A )
A.1 B. C. D.
3. 指数函数 且 在 上是减函数，则函数 在R上的 单调性为 ( B)
A.单调递增 B.单调递减
C.在 上递增，在 上递减 D .在 上递减，在 上递增
4.已知命题p: ;命题q： ， 则下列命题中的真命题是 ( D )
A. B. C. D.
5.在下列区间中，函数 的零点所在的区间为(C )
A.( ，0) B.(0， ) C.( ， ) D.( ， )
6.设 ，则 (D )
A. B. C. D.
7.已知函数 的图像关于 对称，则函数 的图像的一条对称轴是( D )
A. B. C. D.
8. 函 数 的部分图象大致为 ( D )
9.函数 的单调增区间与值域相同，则实数 的取值为 ( B )
A. B. C. D.
10.在整数集 中，被7除所得余数为 的所有整数组成的一个“类”，记作 ，即
，其中 .给出如下五个结论：
① ;② ;③ ;
④ ;
⑤“整数 属于同一“类””的'充要条件是“ ”。
其中，正确结论的个数是 ( B )
A.5 B.4 C.3 D.2
11.已知 是定义在 上的偶函数，对于 ,都有 ,当 时， ，若 在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是 ( C )
A.7 B.8 C.10 D.12
12.奇函数 定义域是 ， ，当 >0时，总有 >2 成立，则不等式 >0的解集为 A
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
13.函数 在点 处切线的斜率为 .
14.由抛物线 ，直线 =0， =2及 轴围成的图形面积为 2 .
15. 点 是边 上的一点， 则 的长为__7____.
16.已知函数 则关于 的不等式 的解集为 .
解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)
设 、 ， ， 。若"对于对一切实数 ， ”是“对于一切实数 ， ”的充分条件，求实数 的取值范围。
解：如果对于一切实数 ， ，那么 ……… …2分
解得 即 的取值范围为 …………3分
如果对于一切实数 ， ，那么有 。……5分
得 ，即 的取值范围为 。 …………6分
因为对于对一切实数 ， 是“对于一切实数 ， ”的充分条件，
所以 且 ， …………8分
则有 。即 的取值范围是 。 …………10分
19.(本小题满分12分)
函数 过点 ，且当 时，函数 取得最大值1.
(3) 将函数 的图 象向右平移 个单位得到函数 ，求函数 的表达式;
(4) 在(1)的条件下，函数 ，如果对于 ，都有 ，求 的最小值.
解(I)由题意 …………1分
将点 代 入解得 ， …………2分
且
因为 所以 ，…………4分)
.…………5分 …………7分
(II) ，…………9分
周期 …………10分 所 以 的最小值为 …………12分
20.(本小题满分12分)
已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，AB=BC=AA1=4，D为BC的中点.
(1)若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C;
(3)若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足 时CE的长.
解：(1)以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，……2分
∵AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，E为棱CC1的中点，
∴D(2，0，0)，E(4，0，2)，A1(0，4，4)，C(4，0，0)，
=(2，0，2)， =(4，-4，-4)，
=0+8﹣8=0，
∴DE⊥A1C. ………5分
(2)设E(4，0，t)，0≤t≤4， =(0，0，t)，A(0，4，0)，
=(2，-4，0)， =(4，-4，t)，
设平面ADE的法向量 =(x，y，z)，
则,
，取x=2，得 =(2，1，﹣ )， ………8分
设CE与平面ADE所成角为α，满足sinα= ，∴ = = ，
解得t=3或t=﹣3(舍)，∴CE=3 ………12分
23. (本小题满分12分)
在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种趋势，假设北京育才网校的套题每日的销售量 (单位：千套)与销售价格 (单位：元/套)满足的关系式 ( )，其中 与 成反比， 与 的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格 为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.
(1) 求 的表达式;
(2) 假设此网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)
解： (1) 因为 与 成反比， 与 的平方成正比，
所以可设： ， ，
则 则 …………………………2分
因 为销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套 ，销售价格为2.5元/套时，每日可售出套题69千套
所以， ，即 ，解得： ， ……4分
所以， …………………5分
(2) 由(1)可知，套题每日的销售量 ，
设每日销售套题所获得的利润 为
则
………………8分
从而
时， ，所以函数 在 上单调递增
时， ，所以函数 在 上单调递减…………10分
所以 时，函数 取得最大值
答：当销售价格为 元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大 .…12分
24. (本小题满分12分)
已知直线 与椭圆 相交于 、 两点.
(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为 ，求椭圆的方程;
(2)若向量 与向量 互相垂直(其中 为坐标原点)，当椭圆的离心率 时，求椭圆长轴长的最大值.
解：(1) ，即 ，又 ，∴ ，则 ，
∴椭圆的方程为 ……4分
(2)设 ， ，即 …5分
由 ，消去 得：
由 ，整理得： (*)
又 ，
由 ，得：
，整理得： ……9分
代入上式得： ， …10分
，
条件适合
由此得： ，故长轴长的最大值为 . ……12分
22.(本小题满分12分)已知函数 R .
(1)当 时，求函数 的最小值;
(2)若 时, ,求实数 的取值范围;
(3)求证： .
解:(1)当 时， ,则 . …………………1分
令 ，得 .
当 时, ; 当 时, . …………………………2分
∴函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
∴当 时,函数 取得最小值,其值为 . ……………………3分
(2)解:若 时, ,即 .(*)
令 ,
则 .
① 若 ,由(Ⅰ)知 ,即 ,故 .
∴ .
…………………………………………4分
∴函数 在区间 上单调递增.
∴ .
∴(*)式成立. …………………………………………5分
②若 ,令 ,
则 .
∴函数 在区间 上单调递增.
由于 , .
…………………………………………6分
故 ,使得 . …………………………………………7
则当 时, ,即 .
∴函数 在区间 上单调递减.
∴ ,即(*)式不恒成立. ………………………………………8分
综上所述,实数 的取值范围是 . ………………………………………9分
(3)证明:由(Ⅱ)知,当 时, 在 上单调递增.
则 ,即 .…………………………………10分
∴ . …………………………………………11分
∴ ,即 . …………………………………………12分
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