2018届萍乡市高三文科数学模拟试卷
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2018届萍乡市高三文科数学模拟试卷题目
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 若 ，则 等于( )
A.1 B. C. D.
2.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.“函数 为奇函数”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
4.等比数列 中， ，则 的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5. 已知函数 的部分图象如图所示，则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 公元263年左右，中国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.下图是利用刘徽的“割圆术”设计的一个程序框图，则输出的值为( )
(参考数据： ， )
A.6 B.12 C.24 D.48
7.已知点 ，点 在曲线 上，且线段 的垂直平分线经过曲线 的焦点 ，则 的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8. 已知实数 满足约束条件 ，则目标函数 取不到的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长是( )
A. B. C.6 D.
10.已知双曲线 的一条渐近线截圆 所得弦长为 ，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
11.为研究某灌溉渠道水的流速 和水深 之间的关系，现抽测了100次，统计出其流速的平均值为1.92，水深的频率直方图如图，已知流速对水深的线性回归方程为 ，若水深的平均值用每组数据的中值(同一组数据用该区间中点值作代表)来估计，则估计 约为( )
A.0.3 B.0.6 C.0.9 D.1.2
12.已知函数 有两个零点，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
13.已知向量 ，若 ，则 .
14.函数 的定义域为 .
15.一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为 ，那么该三棱柱的体积是 .
16.设 ， 为数列 的前 项和，且 ，则数列 的通项公式 .
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ，求证： .
18. (本小题满分12分)
如图， 是等腰直角三角形， ， ， 分别为 的'中点，沿 将 折起，得到四棱锥 ，已知 ，垂足为 .
(1)求证：平面 平面 ;
(2)求三棱锥 的最大体积.
19. (本小题满分12分)
户外运动已经成为一种时尚运动，某公司为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本公司全体650人中随机抽取50人进行问卷调查.
(1)通过对挑选的50人进行调查，得到了如下 列联表：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男员工 5
女员工 10
合计 50
已知在这50人中随机挑选1人，此人喜欢户外运动的概率是0.6，请将 列联表补充完整，并估计该公司男、女员工各多少人;
(2)估计有多大的把握认为喜欢户外运动与性别有关，并说明你的理由;
(3)若用随机数表法从650人中抽取员工，先将650人按000,001，…，649编号，恰好000～199号都为男员工，450～649号都为女员工，现规定从随机数表(见附表)第2行第7列的数开始往右读，在最先挑出的5人中，任取2人，求至少取到1位男员工的概率.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
随机数表：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
20. (本小题满分12分)
已知点 是椭圆 的焦点，且椭圆 上的点到点 的最大距离为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)设直线 ， ，若 均与椭圆 相切，试在 轴上确定一点 ，使点 到 的距离之积恒为1.
21. (本小题满分12分)
已知函数 .
(1)若直线 与曲线 相切于点 ，求点 的坐标;
(2)是否存在 ，使 在区间 上的最大值不超过 ?请说明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，已知 与圆 相切， 为切点， 为割线，弦 ， 相交于 点， 为 上一点，且 .
(1)求证： 四点共圆;
(2)若 ， ，求 的长.
23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线 上的点 按坐标变换 得到曲线 .
(1)求曲线 的极坐标方程;
(2)若射线 和 与曲线 的交点分别为点 ，求 .
24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数 .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)若 ，证明： .
2018届萍乡市高三文科数学模拟试卷答案
一、选择题
CBACA CBDDB DC
二、填空题
13.-1或2 14. 15. 16.
三、解答题
17.(1)因为 ，由余弦定理并化简得：
由余弦定理： ，得 ，
因 ，所以 .
(2)由正弦定理可知： ，
∴
∴
18.(1) ， 分别为 的中点，∴ ，
∴ .
又 ，∴ 面 ，
∴ .
∵ ， ，∴ 平面 .
∴平面 平面 .
(2)因为 ，
而底面 的面积是一定值，故只需求三棱锥 高的最大值，
由(1)知， 就是三棱锥 的高.
由 知，点 和 重合时，三棱锥 的体积取最大值.
由于 ， 为 的中点，故三棱锥 高的最大值为 .
∵ ，∴ .
∴ .
19.(1)依题意有：在这50人中喜欢运动的有 人，
列联表补充如下：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男员工 20 5 25
女员工 10 15 25
合计 30 20 50
所以该公司男员工人数为 ，则女员工 人.
(2)∵ ，
∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关.
(3)最先挑出的5人的编号为：199，507，175，128，580，
其中有男员工3人，女员工2人，
设3位男员工为 ，2位女员工为 .
从中任取2人的总情况数： 共10种，
取到1位男员工的情况是： 共6种
取到2位男员工的情况是： 共3种
故至少取到1位男员工的概率为 .(或 )
20.(1)由 ，得
依题意可知：
得
∴椭圆 的方程为 .
(2)把 的方程代入椭圆 的方程整理得：
由 与椭圆 相切，得 ，
整理得
设 ，由 到直线 的距离之积为1，得
，即 .
把 代入上式整理得： 或 .
前式显然不恒成立，而要使得后式对任意的 恒成立，则 ，解得
综上所述，满足题意的定点 的坐标为 或 .
21.(1)
，有 ，得 ，
故 ，
将 代入 ，得 ，所以 ，
从而， ， ，所以切点 .
(2)假设存在 ，则
∵ ， ，
(1)若 ，则 ，从而 在 上是单调递增，
∴ ，
而 ， ，(这两不等式同时取等号)，
所以不存在 ，使 在区间 的最大值不超过 .
(2)若 ，则由 得 ，即 ，得 在 上单调递增.
由 得 ，即 ，得 在 上单调递减，
∴
令 ，∴ ，∴ ，即
∵ ，上不等式无解
∴不存在 ，使 在区间 上的最大值不超过
由(1)(2)可知不存在 ，使 在区间 上的最大值不超过 .
22.(1)∵ ，∴ ，又 ，∴ ∽ .
∴ .
又 ，∴ ，故 ，
所以 四点共圆.
(2)由相交弦定理得： ，∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
又 ，∴ .
∴ .
由切割线定理得： ，
所以 为所求.
23.(1) ，即 ，
代入 ，得 ，即曲线 的方程为 .
由 ，所以 的极坐标方程为 ，
即 . (未化简，保留上式也可)
(2)将 代入 ，得 ，即 ， ，
代入 ，得 ，即 ， .
所以 .
24.(1)由已知可得：
由 时， 成立; 时， ，即 ，所以 .
所以 的解集为 .
(2)∵ .
由于 ，则
所以 .
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