2018届苏锡常镇四市高三数学模拟试卷及答案
高三学生备战高考数学少不了多做高考数学模拟考试查漏补缺，这样才能分侧重点进行复习，以下是百分网小编为你整理的2018届苏锡常镇四市高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届苏锡常镇四市高三数学模拟试卷题目
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置)
1.已知 ，则 ▲ .
2.若复数 满足 ，则复数 在复平面上对应的点在第 ▲ 象限.
3.随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为 ， ， ， ，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为 ▲ .
4.在区间 内任取一个实数 , 则满足 的概率为 ▲ .
5.如图是一个算法流程图，则输出 的值为 ▲ .
6.函数 的定义域为 ▲ .
7.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的焦距为
▲ .
8.已知 ，则 ▲ .
9.已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于 的扇形，则这个圆锥的体积是 ▲
10.已知圆 为常数)与直线 相交于 两点，若 ，则实数 ▲ .
11、设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 则 的最小值为 ▲ .
12.若动直线 与函数 ， 的图象分别交于 两点，则线段 长度的最大值为 ▲ .
13.在 中， 、 分别是 、 的中点， 是直线 上的动点.若 的面积为2，则 的最小值为 ▲ .
14.已知函数 有两个不相等的零点 ，则 的最大值为 ▲ .
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
在 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若 ， .
⑴求 的值;
⑵若 ，求 的面积.
16.(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB=2CD， AC交BD于O，锐角 PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC.
求证：⑴PA∥平面QBD;
⑵BD AD.
17.(本小题满分14分)
如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线 和曲线 分别是顶点在路面 、 的抛物线的一部分，曲线 是圆弧，已知它们在接点 、 处的切线相同，若桥的最高点 到水平面的距离 米，圆弧的弓高 米，圆弧所对的弦长 米.
(1)求弧 所在圆的半径;
(2)求桥底 的长.
18.(本小题满分16分)
如图，已知椭圆 的左顶点 ，且点 在椭圆上， 、 分别是椭圆的左、右焦点。过点 作斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，直线 交椭圆 于点 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若 为等腰三角形，求点 的坐标;
(3)若 ，求 的值.
19.(本小题满分16分)
已知函数 ，其中 为参数.
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程;
(2)讨论函数 极值点的个数，并说明理由;
(3)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知各项不为零的数列 的前 项和为 ，且 ， ， .
(1)若 成等比数列，求实数 的值;
(2)若 成等差数列，
①求数列 的通项公式;
②在 与 间插入 个正数，共同组成公比为 的等比数列，若不等式
对任意的 恒成立，求实数 的最大值.
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数学Ⅱ(附加题 共40分)
21.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵 ，设曲线C： 在矩阵 对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，直线 和圆C的极坐标方程为 ( )和 .若直线 与圆C有且只有一个公共点，求a的值.
23.(本小题满分10分)
某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》;B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.
⑴若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率;
⑵若从A、B两组中各任选2人，设 为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求 的分布列和数学期望 .
24. (本小题满分10分)
在数列 中， ( )
⑴试将 表示为 的函数关系式;
⑵若数列 满足 ( )，猜想 与 的大小关系，并证明你的结论.
2018届苏锡常镇四市高三数学模拟试卷答案
一、填空题
1. 2.一 3.900 4. 5. 120
6. 7.10 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15. 【解析】⑴由 得 ，
又 ，所以 ， ………………3分
因为 ，且 为钝角，所以 ， ………………6分
所以 . ………………8分
⑵由正弦定理得 ，所以 ， ……… 11分
所以 的面积 . ………………14分
16. 【解析】⑴如图，连接OQ，
因为AB∥CD，AB =2 CD，
所以AO =2OC，又PQ=2QC，
所以PA∥OQ， …………………3分
又OQ 平面QBD，PA 平面QBD，
所以PA∥平面QBD. ………………… 6分
⑵在平面PAD内过 作 于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，
PH 平面PAD，所以PH 平面ABCD， …………………9分
又BD 平面ABCD，所以PH BD，又PA⊥BD，
且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD 平面PAD，…………………12分
又AD 平面PAD，所以BD AD. …………………14分
17. 解：(1)设弧 所在圆的半径为 ,由题意得 ,
即弧 所在圆的半径为13米。 …………………4分
(2)以线段 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立如图的平面直角坐标系。
米， 米，弓高 米，
， ， ，设 所在圆的方程为
则
弧 的方程为 …………………6分
设曲线 所在抛物线的方程为： ， …………………8分
点 在曲线 上 …………………10分
又弧 与曲线段 在接点 处的切线相同,且弧 在点B处的切线的斜率为 ，
由 得 ， ，
…………………12分
由得 ， ，
桥底 的长为58米 …………………13分
答：(1)弧 所在圆的半径为13米;
(2)桥底 的长 58米。 (答和单位各1分) …………………14分
18. 解：(1)由题意得 ，解得
椭圆 的标准方程： …………………4分
(2) 为等腰三角形，且 点 在 轴下方
1° 若 ，则 ;
2° 若 ，则 ， ;
3° 若 ，则 ，
直线 的方程 ，由 得 或
(不讨论扣2分) …………………9分
(3)设直线 的方程 ，
由 得
…………………11分
若 则 ， ， 与 不垂直;
， ， ，
直线 的方程 ，直线 的.方程：
由 解得 …………………13分
又点 在椭圆上得 ，即 ，即
， …………………16分
19. 解析：(1) …………………3分
(2) ，定义域为
，设 ，
① 当 时， ，故 ，
所以 在 上为增函数，所以无极值点. …………………4分
②当 时， ，
若 时 ， ，故 ，故 在 上递增，所以无极值点.
若 时 ，设 的两个不相等的实数根为 ，且 ，
且 ，而 ，则 ，
所以当 单调递增;
当 单调递减;
当 单调递增.
所以此时函数 有两个极值点; …………………7分
③当 时 ，设 的两个不相等的实数根为 ，且 ，
但 ，所以 ，
所以当 单调递増;
当 单调递减.
所以此时函数 只有一个极值点。
综上得：
当 时 有一个极值点;
当 时 的无极值点;
当 时， 的有两个极值点. …………………9分
(3)方法一：
当 时，由(2)知 在 上递增，
所以 ，符合题意; …………………10分
当 时， ， 在 上递增，所以 ，
符合题意; …………………12分
当 时， ，所以函数 在 上递减， 所以 ，
不符合题意; …………………14分
当 时，由(1)知 ，于是
当 时， ，此时 ，不符合题意.
综上所述， 的取值范围是 . …………………16分
方法二： ，注意到对称轴为 ， ，
当 时，可得 ，故 在 上递增，所以 ，符合题意;
当 时， ，所以函数 在 上递减， 此时 ，
不符合题意;
当 时，由(1)知 ，于是
当 时， ，此时 ，不符合题意.
综上所述， 的取值范围是 . …………………16分
20. 解：(1)当 时， ， ，当 时， ， ，
由 得 ，即 ，解得： 。 …………………3分
(2)由 得 ，故 ， ，所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 …………………6分
故数列 的所有奇数项组成以 为首项 为公差的等差数列，
其通项公式 ， …………………7分
同理，数列 的所有偶数项组成以 为首项 为公差的等差数列，
其通项公式是 …………………8分
所以数列 的通项公式是 …………………9分
(3) ，在 与 间插入 个正数，组成公比为 的等比数列，故有 ，
即 ， …………………10分
所以 ，即 ，两边取对数得 ，
分离参数得 恒成立 …………………11分
令 ， ，则 ， ， …………………12分
令 ， ，则 ，
下证 ， ，
令 ， 则 ，所以 ，
即 ，用 替代 可得 ， ， …………………14分
所以 ，所以 在 上递减，
所以 …………………16分
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数学Ⅱ(附加题)参考答案
21.【解析】设 为曲线C上任意一点，点 在矩阵 对应的变换下得到点 ，则： ，即 ，解得 ， ………………5分
(注：用逆矩阵的方式求解同样给分)
又 ，∴ ，即 ，
∴曲线C′的方程为 . ………………10分
22. 【解析】将直线 的极坐标方程化为直角坐标方程得 ; ………………2分
将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程得 . ………………4分
因为直线与圆有且只有一个公共点，所以 ，即 ………………8分
解得 或 . ………………10分
23.【解析】⑴设“选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件 ，
则 ，
答：选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为 . ………………3分
⑵ 可能的取值为 ，
， ，
，故 .
所以 的分布列为：
X 0 1 2 3
………………8分
所以 的数学期望 . ………………10分
24.【解析】(1) =
又 ， ， ………………3分
⑵当n=1时， ， ，
当n=2时， ， ，
当n=3时， ， ， ………………4分
猜想：当 时， ， ………………5分
下面用数学归纳法证明：
证：①当n=3时，由上知， ，结论成立。
②假设n=k， 时, 成立，即
则当n=k+1， ，
要证 ，即证明
即证明
即证明
即证明 ，显然成立。
∴ 时，结论也成立.
综合①②可知：当 时， 成立。
综上可得：当n=1时， ;当n=2时，
当 ， 时， ………………10分
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