2018届浙江省高考数学二模拟试卷及答案
高考即将来临,在考前多做一些高考数学模拟试卷对考生有很大帮助。以下是百分网小编为你整理的2018届浙江省高考数学二模拟试卷,希望能帮到你。
2018届浙江省高考数学二模拟试卷题目
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知复数z1=2﹣i,z2=1+i,其中i为虚数单位,设复数z= ,若a﹣z为纯虚数,则实数a的值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
2.命题“∀x∈[0,+∞),sinx+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈(﹣∞,0),sinx0+x0<0 B.∀x∈(﹣∞,0),sinx+x≥0
C.∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0<0 D.∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0≥0
3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2),N={x|x≥a},若集合M∩N=N,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0]
4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=± x则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相,要求甲不站在两侧,且乙、丙两人站在一起,那么不同的排法种数为( )
A.12 B.24 C.36 D.72
6.如图,正方形ABCD中,P,Q分别是边BC,CD的中点,若 =x +y ,则xy=( )
A.2 B. C. D.
7.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin22.5°≈ )
A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸
8.将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位,得到函数y=g(x)的图象,若实数x1,x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4,且|x1﹣x2|min=2,则φ=( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3
9.若如图的程序框图运行的结构为S=﹣ ,则判断框①中可以填入的是( )
A.i>4? B.i≥4? C.i>3? D.i≥3?
10.多项式(x2﹣x﹣y)5的展开式中,x7y项的系数为( )
A.20 B.40 C.﹣15 D.160
11.如图,是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图,则此几何体的体积为( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)= +bx﹣2a(a∈R),其中b= (2sin •cos )dt,若∃x∈(1,2),使得f′(x)•x+f(x)>0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,1) B.(0,1] C.(﹣∞, ) D.(﹣∞, ]
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示,现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样,抽取100人了解情况,已知70~80分数段抽取了30人,则全体高三年级学生的平均分数为 (以各组区间的中点值代表改组的取值)
14.若以椭圆 =1的右顶点为圆心的圆与直线x+ y+2=0相切,则该圆的标准方程是 .
15.设x,y满足约束条件 ,若目标函数z=kx+y的最大值为9,则实数k的值为 .
16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c= ,C= ,点D在边AB上,且 • =0,则线段CD的最大值为 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共5小题,满分60分)
17.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2﹣3Sn(n∈N*)
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)设bn=log2an,求数列{ }的前n项和Tn.
18.(12分)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知侧按AA1⊥底面ABC,且四边形AA1B1B是边长为2的正方形,CA=CB,点M为棱AB的中点,点E,F分别在按AA1,A1B1上
(Ⅰ)若点F为棱A1B1的中点,证明:平面ABC1⊥平面CMF
(Ⅱ)若AE= ,A1F= ,且CA⊥CB,求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.
19.(12分)根据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633﹣2012)规定,空气污染指数划分为六档,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显,如表(1)所示,若表(2)、表(3)分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录.
表一:
空气质量指数 [0,50]
[51,100]
[101,150]
[151,200]
[201,300] 300以上
空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
(Ⅰ)根据表(2)、表(3)中的数据,通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值,比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度(结果保留两位有效数字)
(Ⅱ)将1月1日至7日分别记为x,x=1,2,3,4,5,6,7,其对应的空气污染指数为y,根据表中提供的数据,用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱,丙说明理由
(Ⅲ)小明在北京经营一家洗车店,经小明统计,AQI指数不高于200时,洗车店平均每天亏损约200元,AQI指数在200至400时,洗车店平均每天收入约400元,AQI指数大于400时,洗车店平均每天收入约700元,求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望(结构保留整数部分)
附:相关系数r= ,r∈[0.30,0.75)时,相关性一般,r∈[0.75,1]时,相关性很强
参考数据: =28, (y1﹣ )2≈123134, (xi﹣ )(y1﹣ )= 68, ≈1857.
20.(12分)已知抛物线ω:y2=ax(a>0)上一点,P(t,2)到焦点F的距离为2t
(Ⅰ)求抛物线ω的方程
(Ⅱ)如图已知点D的坐标为(4,0),过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M,N两点,若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点,求证:直线MQ与x轴交于一定点.
21.(12分)设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).
(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0,求实数a的值;
(Ⅱ)若x1,x2(x1m恒成立,求实数m的取值范围.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)已知平面直角坐标系中,曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+ )=2
(Ⅰ)求曲线C1与曲线C2的参数方程
(Ⅱ)若点A,B分别在曲线C1与曲线C2上,求|AB|的最小值.
[选修4-5;不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣t|,t∈R
(Ⅰ)若t=1,解不等式f(x)+f(x+1)≤2
(Ⅱ)若t=2,a<0,求证:f(ax)﹣f(2a)≥af(x)
2018届浙江省高考数学二模拟试卷答案
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知复数z1=2﹣i,z2=1+i,其中i为虚数单位,设复数z= ,若a﹣z为纯虚数,则实数a的值为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.
【解答】解:复数z= = = = ,
∵a﹣z=a﹣ + i为纯虚数,
∴a﹣ =0,解得a= .
故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
2.命题“∀x∈[0,+∞),sinx+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈(﹣∞,0),sinx0+x0<0 B.∀x∈(﹣∞,0),sinx+x≥0
C.∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0<0 D.∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0≥0
【考点】21:四种命题.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题.所以命题“∀x∈[0,+∞),sinx+x≥0”的否定是:∃∃x0∈[0,+∞),sinx0+x0<0;
故选:C.
【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系.
3.已知集合M={x|y=lg(x﹣2),N={x|x≥a},若集合M∩N=N,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0]
【考点】18:集合的包含关系判断及应用.
【分析】先将集合M化简,然后集合M∩N=N,则N⊂M,得实数a.
【解答】解:集合M={x|y=lg(x﹣2)}={x|x>2},N={x|x≥a},
若集合M∩N=N,则N⊂M,
∴a>2,即(2,+∞).
故选:A.
【点评】本题考查集合的包含关系,考查数形结合的数学思想,属于基础题.
4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=± x则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 或 D. 或
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】当双曲线的焦点坐标在x轴上时,设双曲线方程为 ,由已知条件推导出 ;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为 ,由已知条件推导出 .由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率.
【解答】解:∵中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=± x,
∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上,
①当双曲线的焦点坐标在x轴上时,
设双曲线方程为 ,
它的渐近线方程为y=± ,∴ ,
∴e= = = ;
当双曲线的焦点在y轴上时,
设双曲线方程为 ,
它的渐近线方程为y= ,∴ ,∴ ,
∴e= = = .
综上所述,该双曲线的离心率为 或 .
故选:C.
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.
5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排照相,要求甲不站在两侧,且乙、丙两人站在一起,那么不同的排法种数为( )
A.12 B.24 C.36 D.72
【考点】D8:排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,分3步进行分析:①、乙、丙两人站在一起,用捆绑法将2人看成一个整体进行分析;②、将这个整体与丁、戊进行全排列,③、分析甲的站法数目,进而由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分3步进行分析:
①、乙、丙两人站在一起,将2人看成一个整体,考虑其顺序有A22种顺序;
②、将这个整体与丁、戊进行全排列,有A33种情况;
③、甲不站在两侧,则乙丙的整体与丁、戊有2个空位可选,有2种情况,
则不同的排法有A22×A33×2=24种;
故选:B.
【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意优先分析受到限制的元素.
6.如图,正方形ABCD中,P,Q分别是边BC,CD的中点,若 =x +y ,则xy=( )
A.2 B. C. D.
【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义.
【分析】 y( =x( )+y( )=(x﹣ ) +( ) = .可得x﹣ =1, =1,即可
【解答】解:∵ y( =x( )+y( )=(x﹣ ) +( ) = .
可得x﹣ =1, =1,解得x= ,y= ,∴xy=
故选:D
【点评】本题考查了向量的线性运算,属于中档题.
7.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( ) (注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin22.5°≈ )
A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由题意画出图形,求出圆柱的底面半径,进一步求出弓形面积,代入体积公式得答案.
【解答】解:如图,
AB=10(寸),则AD=5(寸),CD=1(寸),
设圆O的半径为x(寸),则OD=(x﹣1)(寸),
在Rt△ADO中,由勾股定理可得:52+(x﹣1)2=x2,解得:x=13(寸).
∴sin∠AOD= ,即∠AOD≈22.5°,则∠AOB=45°.
则弓形 的面积S= ≈6.33(平方寸).
则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633(立方寸).
故选:D.
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法,关键是对题意的理解,是中档题.
8.将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位,得到函数y=g(x)的图象,若实数x1,x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4,且|x1﹣x2|min=2,则φ=( )
A.1 B.2 C.3 D.1或3
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】结合正弦函数的图象和性质可得|x1﹣x2|min=2,得φ的值
【解答】解:将函数f(x)=2sin(πx)的图象向左平移φ(0<φ<4)个单位,得到函数y=g(x)=2sin(πx+φπ)的图象,
故f(x)的最大值为2,最小值为﹣2,g(x)的最大值为2,最小值为﹣2.
若实数x1,x2满足|f(x1)﹣g(x2)|=4,且|x1﹣x2|=2,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=2.
不妨假设f(x1)=2,g(x2)=﹣2,则 πx1=2kπ+ ,πx2+πφ=2nπ﹣ ,k、n∈Z,
即x1=2k+ ,x2=2n﹣ ﹣φ,此时,有|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=1+φ,或|x1﹣x2|min=2=|2k﹣2n+1+φ|=﹣2+1+φ,
∴φ=1 或φ=3,
故选:D.
【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖,有一定难度,属于中档题.
9.若如图的程序框图运行的结构为S=﹣ ,则判断框①中可以填入的是( )
A.i>4? B.i≥4? C.i>3? D.i≥3?
【考点】EF:程序框图.
【分析】模拟运行程序,可得结论.
【解答】解:模拟运行程序,可得S=﹣ ,i=2;S=﹣ +2cos =﹣ ,i=3;
S=﹣ +3cosπ= ,i=4;S= +4cos =﹣ ,i=5,循环结束,
故选A.
【点评】本题是当型循环结构的程序框图,解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值.
10.多项式(x2﹣x﹣y)5的展开式中,x7y项的系数为( )
A.20 B.40 C.﹣15 D.160
【考点】DB:二项式系数的性质.
【分析】由题意知,当其中一个因式取﹣y,一个因式取﹣x,其余的3个因式都取x2 时,
可得含x7y的项,由此求得结果.
【解答】解:多项式(x2﹣x﹣y)5表示5个因式(x2﹣x﹣y)的乘积,
当只有一个因式取﹣y,一个因式取﹣x,
其余的3个因式都取x2时,才可得到含x7y的项;
所以x7y的系数为 • • =20.
故选:A.
【点评】本题考查了排列组合、二项式定理和乘方的应用问题,是基础题.
11.如图,是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图,则此几何体的体积为( )
A. B. C. D.
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体,分别计算它们的体积,相加可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四分之一球与半圆锥的组合体,
底面(四分之一球)的半径R=2,
故四分之一球的体积V= = ,
半圆锥的底面面积S= =2π,
高h=3,
故半圆锥的体积为:2π,
故组合体的体积V= ,
故选:C
【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.
12.已知函数f(x)= +bx﹣2a(a∈R),其中b= (2sin •cos )dt,若∃x∈(1,2),使得f′(x)•x+f(x)>0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,1) B.(0,1] C.(﹣∞, ) D.(﹣∞, ]
【考点】67:定积分.
【分析】先利用微积分基本定理求出a,得到函数的解析式,再求导函数,根据导数和函数的单调性关系,求出函数y=x+ 的最大值即可.
【解答】解:b= (2sin •cos )dt= sintdt=﹣cost| =﹣(cos ﹣cos0)=1,
∴f(x)= +x﹣2a,
设g(x)=xf(x)=2lnx+a2+x2﹣2ax,
∴g′(x)= +2x﹣2a,g′(x)=f′(x)•x+f(x),
∵∃x∈(1,2),使得f′(x)•x+f(x)>0成立,
∴∃x∈(1,2),使得 +2x﹣2a>0,
∴∃x∈(1,2),使得a< +x,
又y=x+ 在(1,2)上单调递增,
∴a<( +x)max< +2= ,
∴a< ,
故选:C
【点评】本题以函数为载体,考查微积分基本定理,导数的运用,考查了学生的运算能力和转化能力,属于中档题
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.某校高三年级的一次测验成绩的频率分布直方图如图所示,现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样,抽取100人了解情况,已知70~80分数段抽取了30人,则全体高三年级学生的平均分数为 82 (以各组区间的中点值代表改组的取值)
【考点】B8:频率分布直方图.
【分析】先求出70~80分数段与90~100分数段的频率,再求平均分.
【解答】解:根据频率分布直方图知,
70~80分数段的频率为 =0.3,
∴90~100分数段的频率为
1﹣(0.1+0.3+0.4)=0.2,
∴平均分为 =0.1×65+0.3×75+0.4×85+0.2×95=82,
故答案为:82.
【点评】本题考查了利用频率分布直方图求平均数的应用问题,是基础题.
14.若以椭圆 =1的右顶点为圆心的圆与直线x+ y+2=0相切,则该圆的标准方程是 (x﹣2)2+y2=4 .
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】求得椭圆的右顶点,利用点到直线的距离公式,即可圆的半径,即可求得圆的标准方程.
【解答】解:椭圆 =1的右顶点(2,0),
则圆心(2,0),设圆心到直线x+ y+2=0的距离为d,
则d= =2,
∴该圆的标准方程的方程(x﹣2)2+y2=4,
故答案为:(x﹣2)2+y2=4.
【点评】求得椭圆的右顶点,利用点到直线的距离公式,属于基础题.
15.设x,y满足约束条件 ,若目标函数z=kx+y的最大值为9,则实数k的值为 ﹣5或2 .
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=kx+y得y=﹣kx+z,
则直线截距最大时,z最大,
∵目标函数z=kx+y的最大值为9,
∴y+kx=9,即y=﹣kx+9,
则目标函数过定点(0,9),
当k=0时,y=z,此时直线过点A时,直线的截距最大,
由 得 ,即A(2,5),
此时最大值z=5不满足条件.
当k>0时,目标函数的斜率为﹣k<0,
平移直线y=﹣kx+z,则直线经过点A(2,5)时,截距最大,
此时z=9=2k+5,得2k=4,k=2,
当k<0时,目标函数的斜率为﹣k>0,
平移直线y=﹣kx+z,则直线经过点C时,截距最大,
由 得 ,即C(﹣ , )
此时z=9=﹣ k+ ,得﹣3k=15,得k=﹣5,满足条件.
综上k=﹣5或k=2,
故答案为:﹣5或2
【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.注意本题要对k进行分类讨论.
16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c= ,C= ,点D在边AB上,且 • =0,则线段CD的最大值为 .
【考点】9R:平面向量数量积的运算.
【分析】根据| |=| |= 得出a2+b2=3+ab,再利用基本不等式得出ab的范围,根据面积公式得出CD关于ab的表达式,从而得出CD的最值.
【解答】解: =abcos = ,
∵| |=| |= ,
∴ =3,即a2+b2=3+ab,
又a2+b2≥2ab,∴3+ab≥2ab,∴ab≤3.
∵ • =0,∴CD⊥AB,
∴S= = ×CD×c,即 ab= CD,
∴CD= ab≤ ,
故答案为: .
【点评】本题考查了平面向量的应用与数量积运算,面积公式及基本不等式,属于中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共5小题,满分60分)
17.(12分)(2017•衡水金卷二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2﹣3Sn(n∈N*)
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)设bn=log2an,求数列{ }的前n项和Tn.
【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.
【分析】(Ⅰ)当n≥2时,由已知条件an=2﹣3Sn得到an﹣1=2﹣3Sn﹣1,将这两个式子相减,再结合数列{an}的前n项和Sn的定义易得数列{an}的通项公式
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中求得的通项公式不难推出:bn=log2an=1﹣2n,所以利用裂项相消法来求数列{ }的前n项和Tn.
【解答】解:(Ⅰ)当n≥2时,∵an=2﹣3Sn…①
∴an﹣1=2﹣3Sn﹣1…②
①﹣②得:an﹣an﹣1=﹣3(Sn﹣Sn﹣1)=﹣3an
∴4an=an﹣1;即 = ,
又a1=2﹣3S1=2﹣3a1;得:a1= ,
∴数列{an}是以 为首项, 为公比的等比数列
∴an= ×( )n﹣1=21﹣2n(n∈N*),即an=21﹣2n(n∈N*),
(Ⅱ)∵an=21﹣2n(n∈N*),bn=log2an,
∴bn=log2an=log221﹣2n=1﹣2n,
∴ = = ( ﹣ ).
∴Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ),
= (1﹣ ),
= (n∈N*).
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解,利用裂项相消求和法是解决本题的关键.
18.(12分)(2017•衡水金卷二模)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知侧按AA1⊥底面ABC,且四边形AA1B1B是边长为2的正方形,CA=CB,点M为棱AB的中点,点E,F分别在按AA1,A1B1上
(Ⅰ)若点F为棱A1B1的中点,证明:平面ABC1⊥平面CMF
(Ⅱ)若AE= ,A1F= ,且CA⊥CB,求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.
【考点】MI:直线与平面所成的角;LY:平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)推导出AA1⊥AB,AB⊥FM,CM⊥AB,从而AB⊥平面CMF,由此能证明平面ABC1⊥平面CMF.
(Ⅱ)记线段A1B1的中点为N,连结MN,以M为原点,MC为x轴,MA为y轴,MN为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.
【解答】证明:(Ⅰ)∵AA1B1B是边长为2的正方形,∴AA1⊥AB,
又在正方形ABB1A1中,F,M分别是线段A1B1,AB的中点,
∴FM∥A1A,∴AB⊥FM,
在△ABC中,CA=CB,且点M是线段AB的中点,
∴CM⊥AB,
又CM∩FM=M,∴AB⊥平面CMF,
又AB⊂平面ABC1,∴平面ABC1⊥平面CMF.
解:(Ⅱ)在等腰△CAB中,由CA⊥CB,AB=2,知CA=CB= ,且CM=1,
记线段A1B1的中点为N,连结MN,
由(Ⅰ)知MC、MA、MN两两互相垂直,
以M为原点,MC为x轴,MA为y轴,MN为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(1,0,0),E(0,1, ),F(0, ,2),A(0,1,0),C1(1,0,2),
=(﹣1,1, ), =(0,﹣ , ), =(1,﹣1,2),
设平面CEF的一个法向量 =(x,y,z),
则 ,取z=2,得 =(5,4,2),
设直线AC1与平面CEF所成角为θ,
则sinθ=|cos< >|= = = ,
∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为 .
【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的'求法,考查线面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.
19.(12分)(2017•衡水金卷二模)根据《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》(HJ633﹣2012)规定,空气污染指数划分为六档,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显,如表(1)所示,若表(2)、表(3)分别是石家庄市、北京市近期空气质量记录.
表一:
空气质量指数 [0,50]
[51,100]
[101,150]
[151,200]
[201,300] 300以上
空气质量状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
(Ⅰ)根据表(2)、表(3)中的数据,通过研究1月1日至7日石家庄市、北京市近一周空气污染指数的平均值,比较石家庄市、北京市近一周空气污染的严重程度(结果保留两位有效数字)
(Ⅱ)将1月1日至7日分别记为x,x=1,2,3,4,5,6,7,其对应的空气污染指数为y,根据表中提供的数据,用变量y与x的相关系数说明石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系的强弱,丙说明理由
(Ⅲ)小明在北京经营一家洗车店,经小明统计,AQI指数不高于200时,洗车店平均每天亏损约200元,AQI指数在200至400时,洗车店平均每天收入约400元,AQI指数大于400时,洗车店平均每天收入约700元,求小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望(结构保留整数部分)
附:相关系数r= ,r∈[0.30,0.75)时,相关性一般,r∈[0.75,1]时,相关性很强
参考数据: =28, (y1﹣ )2≈123134, (xi﹣ )(y1﹣ )= 68, ≈1857.
【考点】BK:线性回归方程.
【分析】(Ⅰ)求出平均数,比较即可;
(Ⅱ)求出r,根据r的范围判断即可;
(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元,则X可能的取值为﹣200,400,700分别求出P(X=﹣200),P(X=400),P(X=700),求出E(X)的值即可.
【解答】解:(Ⅰ)石家庄市近一周空气污染指数的平均值为:
≈293.43,
北京市近一周空气污染指数的平均数为:
≈262.71,
∴石家庄市与北京市的空气都处于重度污染,
且石家庄市比北京市的污染更严重;
(Ⅱ)r= ≈ ≈ ≈0.31,
∵r∈[0.30,0.75),
∴石家庄市空气污染指数y与日期x之间线性相关关系一般;
(Ⅲ)设洗车店平均每天收入为X元,
则X可能的取值为﹣200,400,700,
P(X=﹣200)= = ,
P(X=400)= = ,
P(X=700)= ,
则X的分布列为:
X ﹣200 400 700
P
故E(X)=﹣200× +400× +700× = ≈164(元),
故小明的洗车店在近两周每天收入的数学期望是164元.
【点评】本题考查了平均数问题,考查相关系数的计算以及数学期望问题,是一道中档题.
20.(12分)(2017•衡水金卷二模)已知抛物线ω:y2=ax(a>0)上一点,P(t,2)到焦点F的距离为2t
(Ⅰ)求抛物线ω的方程
(Ⅱ)如图已知点D的坐标为(4,0),过抛物线ω的焦点F的直线交抛物线ω于M,N两点,若过D和N两点的直线交抛物线ω的准线于Q点,求证:直线MQ与x轴交于一定点.
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】(Ⅰ)根据抛物线的定义,可得a=4t,将P代入抛物线方程,求得at=4,代入即可求得a的值,求得抛物线ω的方程;
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线MN的方程为x=my+1,联立方程组,表示出直线ND的方程,与抛物线ω的准线方程构成方程组,解得Q的坐标,求出直线MQ的斜率,得到直线MQ的方程,求出交点坐标即可.
【解答】解:(Ⅰ)由抛物线的定义可知丨PF丨=t+ =2t,则a=4t,
由点P(t,2)在抛物线上,则at=4,
∴a× =4,则a2=16,
由a>0,则a=4,
∴抛物线的方程y2=4x;
(Ⅱ)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),
设直线MN的方程为x=my+1
,整理得:y2﹣4my﹣4=0,
由韦达定理可知:y1•y2=﹣4,
依题意,直线ND与x轴不垂直,∴x2=4.
∴直线ND的方程可表示为,y= (x﹣4)①
∵抛物线ω的准线方程为,x=﹣1②
由①,②联立方程组可求得Q的坐标为(﹣1,﹣ )
∴Q的坐标可化为(﹣1, ),
∴kMQ= ,
∴直线MQ的方程为y﹣y1= (x﹣x1),
令y=0,可得x=x1﹣ = ,
∴直线MQ与x轴交于定点( ,0).
【点评】本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查直线过定点,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
21.(12分)(2017•衡水金卷二模)设函数f(x)=2lnx+x2﹣2ax(a>0).
(Ⅰ)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0,求实数a的值;
(Ⅱ)若x1,x2(x1m恒成立,求实数m的取值范围.
【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,确定函数的单调性,利用函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为0,求实数a的值;
(Ⅱ)f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)= ﹣x12+2lnx12,令x12=t,则t>1,g(t)= ﹣t﹣2lnt,x,求导,确定函数的单调性,求最值,即可求实数m的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)f′(x)= ,
0
a>2,令f′(x)=0,则x1= ,x2= ,
2
∴函数在(1,x1)内单调递减,在(x1,2)内单调递增,
∴f(x)min=f(x1)
a≥ ,x1= ,x2= ≥2,
∴函数在(1,2)内单调递减,∴f(x)min=f(2)=2ln2+4﹣4a=0.
∴a= ln2+1< (舍去)
综上所述,a= ;
(Ⅱ)x1,x2是f′(x)= 在(0,+∞)内的两个零点,是方程x2﹣ax+1=0的两个正根,
∴x1+x2=a>0,x1x2=1,△>0,∴a>2,∴x1>1
∴f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣2ax1)﹣(2lnx2+x22﹣2ax2)= ﹣x12+2lnx12,
令x12=t,则t>1,g(t)= ﹣t﹣2lnt,
∴g′(t)=﹣ <0,
∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴g(t)>g(1)=0,
∴m≤0.
【点评】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性与最值,正确构造函数,合理求导是关键.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)(2017•衡水金卷二模)已知平面直角坐标系中,曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+ )=2
(Ⅰ)求曲线C1与曲线C2的参数方程
(Ⅱ)若点A,B分别在曲线C1与曲线C2上,求|AB|的最小值.
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1与曲线C2的参数方程
(Ⅱ)若点A,B分别在曲线C1与曲线C2上,求|AB|的最小值,即求出A到曲线C2距离的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为(x+1)2+(y﹣1)2=1,参数方程为 (α为参数);
曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ+ )=2 ,直角坐标方程为x﹣y﹣4=0,参数方程为 (t为参数);
(Ⅱ)设A(﹣1+cosα,1+sinα),
A到曲线C2的距离d= = ,
∴sin(α﹣45°)=﹣1时,|AB|的最小值为3 ﹣1.
【点评】本题考查三种方程的转化,考查点到直线距离公式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
[选修4-5;不等式选讲]
23.(2017•衡水金卷二模)已知函数f(x)=|x﹣t|,t∈R
(Ⅰ)若t=1,解不等式f(x)+f(x+1)≤2
(Ⅱ)若t=2,a<0,求证:f(ax)﹣f(2a)≥af(x)
【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(I)由题意可得|x﹣1|+|x|≤2,对x讨论,去掉绝对值,解不等式,求并集即可得到所求解集;
(II)由题意可证f(ax)﹣af(x)≥f(2a),运用绝对值不等式的性质,求得左边的最小值,即可得证.
【解答】(I)解:由题意,得f(x)+f(x+1)=|x﹣1|+|x|,
因此只须解不等式|x﹣1|+|x|≤2,
当x≤0时,原不等式等价于﹣2x+1≤2,即﹣ ≤x≤0;
当0
当x>1时,原不等式等价于2x﹣1≤2,即1
综上,原不等式的解集为{x|﹣ ≤x≤ }.
(II)证明:由题意得f(ax)﹣af(x)=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|
=|ax﹣2|+|2a﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|
=|2a﹣2|=f(2a).
所以f(ax)﹣f(2a)≥af(x)成立.
【点评】本题考查绝对值不等式的解法,注意运用分类讨论的思想方法,考查不等式的证明,注意运用绝对值不等式的性质,考查运算能力和推理能力,属于中档题.
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