2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案

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　　2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目

　　一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)

　　1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=(　　)

　　A.(0，+∞) B.(﹣∞，1) C.(﹣∞，2) D.(0，1)

　　2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=(　　)

　　A.{1} B.{4} C.{1，3} D.{1，4}

　　3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的(　　)

　　A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

　　C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

　　4.下列说法错误的是(　　)

　　A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”

　　B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件

　　C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题

　　D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”

　　5.已知0

　　A.a2>2a>log2a B.2a>a2>log2a C.log2a>a2>2a D.2a>log2a>a2

　　6.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为(　　)

　　A.3+2 B.3+2 C.7 D.11

　　7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则(　　)

　　A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a

　　8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，

　　g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14

　　9设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是(　　)

　　A.[ ，2) B.[ ，2] C.[ ，1) D.[ ，1]

　　10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为(　　)

　　A . B.

　　C. D.

　　11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是(　　)

　　①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;

　　②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;

　　③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;

　　④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.

　　A.①③ B.②③ C.①④ D.③④

　　12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值 = =…= 成立，则n的取值集合是(　　)

　　A.{2，3，4，5} B.{2，3} C.{2，3，5} D.{2，3，4}

　　第II卷(非选择题)

　　二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)

　　13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是　 .

　　14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)=　　.

　　15.设有两个命题，p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是　 .

　　16.在下列命题中

　　①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;

　　②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;

　　③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);

　　④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;

　　⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.

　　其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).

　　三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)

　　17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.

　　(Ⅰ)求A∩B;

　　(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.

　　18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.

　　(1)求实数a，b的值;

　　(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).

　　19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .

　　(1)确定函数f(x)的解析式;

　　(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;

　　(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.

　　20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).

　　(Ⅰ)解该不等式;

　　(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.

　　21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数

　　(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;

　　(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.

　　选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。

　　22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)，直线C2的方程为y= ，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

　　(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;

　　(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求 + .

　　23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|.

　　(1)解关于x的不等式f(x)>3;

　　(2)若∀x∈R，使得m2+3m+2f(x)≥0成立，试求实数m的取值范围.

　　2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷答案

　　1-----5.CDBCB,6---10,ABDCA,11-12,AB

　　7.B【考点】奇偶性与单调性的综合.

　　【解答】解：根据题意，

　　sin =sin(2π﹣ )=﹣sin ，则a=f(sin )=f(﹣sin )，

　　cos =cos(π﹣ )=﹣cos ，b=f(﹣cos )，

　　又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，

　　则a=f(sin )=f(﹣sin )=f(sin )，

　　b=f(﹣cos )=f(cos )，又由 < < ，

　　则有0

　　则有c>a>b;故选：B.

　　8.D【考点】函数零点的判定定理.

　　【解答】解：函数h(x)=f(x)﹣g(x)的零点，即方程函数f(x)﹣g(x)=0的根，

　　也就是两个函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标，由f(x+2)=f(x)，

　　可得f(x)是周期为2的周期函数，又g(x)= ，

　　作出两函数的图象如图：

　　∴函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间内零点的个数为14.

　　故选：D.

　　9.C【考点】抽象函数及其应用.

　　【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，

　　∴令x=n，y=1，得f(n)•f(1)=f(n+1)，即 = =f(1)= ，

　　∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，∴an=f(n)=( )n，

　　∴Sn= =1﹣( )n∈[ ，1).故选C.

　　10,A【考点】3O：函数的图象.

　　【解答】解：由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f(x)= •x• • a= ax，

　　故在[0，a]上的图象为线段，故排除B;当a

　　11.A【考点】3O：函数的图象.【分析】可先考虑函数g(x)=x|x|的单调性和图象的对称性，然后考虑将函数g(x)的图象左右平移和上下平移，得到函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b的图象，观察它的上升还是下降和对称性.

　　【解答】解：设函数g(x)=x|x|即g(x)= ，作出g(x)的图象，得出g(x)在R上是单调增函数，且图象关于原点对称，而f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b的图象可由函数y=g(x)的图象先向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位，再向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到.所以对任意的实数a，b，都有f(x)在R上是单调增函数，且图象关于点(a，b)对称.故选：A

　　12.B【考点】分段函数的应用.

　　【分析】 = =…= 的几何意义为点(xn，f(xn))与原点的连线有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论.

　　【解答】解：∵ 的几何意义为点(xn，f(xn))与原点的连线的斜率，

　　∴ = =…= 的几何意义为点(xn，f(xn))与原点的连线有相同的斜率，函数的图象，在区间(1，+∞)上，与y=kx的交点个数有1个，2个或者3个，故n=2或n=3，即n的取值集合是{2，3}.故选：B.

　　13.∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0. 14.0, 15. 或a≥1

　　【解答】解：p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，则0

　　q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R，a=0时不成立，a≠0时，则，解得 .如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假.

　　∴ ，或，解得则实数a的取值范围是.

　　故答案为：或a≥1.【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的`解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

　　16.②④⑤

　　【解答】解：对于①，函数f(x)= 在定义域内的区间(﹣∞，0)和(0，+∞)上是减函数， ∴①错误. 对于②，由题意得f(2﹣(x+2))=f(2+(x+2))，即f(﹣x)=f(4+x)=f(x)， ∴f(x)是偶函数;∴②正确. 对于③，根据定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，且被积函数f(x)是奇函数，得 f(x)dx=0，∴③错误. 对于④，∵f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∴f′(x)=3ax2+2bx+c;

　　当a+b+c=0时，(2b)2﹣4×3a×(﹣a﹣b)=4b2+12a2+12ab=4 +3a2>0，∴f′(x)有二不等零点，f(x)有极值; 当f(x)有极值时，f′(x)=3ax2+2bx+c有二不等零点，即4b2﹣12ac>0，不能得出a+b+c=0; ∴是充分不必要条件，④正确.

　　对于⑤，∵f(x)=x﹣sinx，∴f′(x)=1﹣cosx≥0，∴f(x)是增函数，∴当a+b>0时，a>﹣b，∴f(a)>f(﹣b); 又∵f(﹣x)=﹣x﹣sin(﹣x)=﹣(x﹣sinx)=﹣f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(﹣b)=﹣f(b); ∴f(a)>﹣f(b)，即f(a)+f(b)>0;∴⑤正确. 综上，正确的命题是②④⑤; 故答案为：②④⑤.

　　17.【考点】18：集合的包含关系判断及应用;交集及其运算.

　　【解答】解：(Ⅰ)由x2﹣4x﹣5≤0，得：﹣1≤x≤5.∴集合A={x|﹣1≤x≤5}.

　　由x2﹣4>0，得：x>2或x<﹣2.∴集合B={x|x>2或x<﹣2}.那么：A∩B={x|2

　　(Ⅱ)∵集合B={x|x>2或x<﹣2}.∴∁RB={x|﹣2≤x≤2}.∴A∪(∁RB)={x﹣|2

　　∵C={x|x≤a﹣1}，A∪(∁RB)⊆C，∴a﹣1≥5，得：a≥6故得a的取值范围为[6,+∞).

　　18.【解答】解：(1)由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，

　　则，∴a=1，b=2.

　　(2)不等式等价于(x﹣c)(x﹣2)>0，所以：当c>2时解集为{x|x>c或x<2};

　　当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R};当c<2时解集为{x|x>2或x

　　19.【考点】奇偶性与单调性的综合.

　　【解答】(1)解：函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，

　　则f(0)=0，即有b=0，且f( )= ，则，解得，a=1，

　　则函数f(x)的解析式：f(x)= (﹣1

　　(2)证明：设﹣1

　　= ，由于﹣10，

　　(1+m2)(1+n2)>0，则有f(m)﹣f(n)<0，则f(x)在(﹣1，1)上是增函数;

　　(3)解：由于奇函数f(x)在(﹣1，1)上是增函数，

　　则不等式f(t﹣1)+f(t)<0即为f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t)，

　　即有，解得，则有0

　　20.

　　【考点】一元二次不等式的解法.

　　【解答】解：(Ⅰ)原不等式可化为(x-a2-2)(x﹣3a)<0，

　　当a2+2<3a，即1

　　当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅;

　　当a2+2>3a，即a<1或a>2时，原不等式的解为3a

　　综上所述，当1

　　当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，

　　当a<1或a>2时，原不等式的解为3a

　　(Ⅱ)当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大.…

　　当a≠1且a≠2时，，a∈R.…

　　设t=a2+2﹣3a，a∈R，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…

　　∴当a=4时，dmax=6.…

　　21.【考点】二次函数的性质.

　　【解答】解：(1)证明：设Φ(x)=2x2﹣ax﹣2，则当α

　　f′(x)= =﹣ >0，∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.

　　(2)由关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，

　　可得α= ，β= ，f(α)= = ，f(β)= ，

　　即有f(α)•f(β)= =﹣4<0，

　　函数f(x)在[α，β]上最大值f(β)>0，最小值f(α)<0，

　　∴当且仅当f(β)=﹣f(α)=2时，

　　f(β)﹣f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，

　　此时a=0，f(β)=2.当a=0时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.

　　22.

　　【考点】简单曲线的极坐标方程;QH：参数方程化成普通方程.

　　【解答】解：(1)曲线C1的参数方程为 (α为参数)，直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0

　　直线C2的方程为y= ，极坐标方程为tanθ= ;

　　(2)直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣(2+2 )ρ+7=0，

　　设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2 ，ρ1ρ2=7，

　　∴ + = = .

　　23.【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.

　　【解答】解：(1)由|x|+|x+1|>3，

　　得：或或，

　　解得：x>1或x<﹣2，故不等式的解集是{x|x>1或x<﹣2};

　　(2)若∀x∈R，使得m2+3m+2f(x)≥0成立，

　　而f(x)= ，故f(x)的最小值是1，

　　故只需m2+3m+2≥0即可，

　　解得：m≥﹣1或m≤﹣2.

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