高考数学等比数列知识点

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高考数学等比数列知识点

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高考数学等比数列知识点

　　1、由等比数列组成的新的等比数列的公比：

　　{an}是公比为q的等比数列

　　（1）若A=a1+a2+……+an

　　B=an+1+……+a2n

　　C=a2n+1+……a3n

　　则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q^n

　　（2）若A=a1+a4+a7+……+a3n-2

　　B=a2+a5+a8+……+a3n-1

　　C=a3+a6+a9+……+a3n

　　则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q

　　性质：

　　(1)若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am∈an=ap∈aq。

　　(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

　　(3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。

　　(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则

　　{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…

　　{can}，c是常数，{an/bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。

　　(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

　　(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。

　　(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)

　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

　　(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

　　2、求通项方法：

　　(1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an?

　　构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)

　　a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3

　　∴(a(n+1)+3)/(an+3)=2

　　∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1/q^(n-1)=4/2^(n-1),an=2^(n+1)-3

　　(2)定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式?

　　∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b

　　∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1

　　3、实际应用：

　　等比数列在生活中也是常常运用的。

　　如：银行有一种支付利息的方式——复利。

　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。

　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金(1+利率)^存期。

　　4、一个推导：

　　利用错位相减法推导等比数列的前n项和：

　　Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1)。

　　5、两个防范：

　　(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。

　　(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误。

　　6、等比数列的判断方法有：

　　(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N)，则{an}是等比数列。

　　(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N)，则数列{an}是等比数列。

　　(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N)，则{an}是等比数列。

　　注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列。

　　7、等比中项

　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

　　有关系：

　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

　　8、等比数列通项公式

　　an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1)(n≥2)

　　前n项和

　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

　　Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)

　　当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

　　Sn=na1

　　9、等比数列前n项和与通项的关系

　　an=a1=s1(n=1)

　　an=sn-s(n-1)(n≥2)

　　10、等比数列性质：

　　(1)若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；

　　(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

　　(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

　　(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

　　(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

　　(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

　　注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

　　11、等比数列求和公式：

　　q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

　　q=1时，Sn=na1

　　(a1为首项,an为第n项,d为公差,q为等比)

　　这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1时，{an}为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。

　　12、等比数列求和公式推导

　　Sn=a1+a2+a3+······+an(公比为q)

　　qSn=a1q + a2q + a3q +······+ anq = a2+ a3+ a4+······+ an+ a(n+1)

　　Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

　　a(n+1)=a1qn

　　Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)

　　13、等比数列定义

　　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression）。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)。

　　13、推导过程

　　因为当等比数列的公比等于1和公比不等于1的前n项和公式不同，所以，求一个等比数列的前n项时常常需要分“公比为1”和“公比不为1”两种情况分类讨论。

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