高中数学不等式与不等式组的解法

　　高中数学不等式主要问题包括：大小比较(方法有作差法，作商法，图象法，函数性质法);证明题(比较法，反证法，换元法，综合法…);恒成立问题(判别式法，分离参数法…)等，下面是小编为大家精心推荐不等式与不等式组的解法，希望能够对您有所帮助。

高中数学不等式与不等式组的解法

　　不等式与不等式组的数轴穿根解法

　　数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。

　　做法：

　　1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);

　　2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;

　　3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍);

　　4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。

　　例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)

　　⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;

　　⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;

　　⒊画数轴,并把根所在的点标上去;

　　⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;

　　⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。

　　高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：

　　x(x+2)(x-1)(x-3)>0

　　一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根

　　x=0，x=1，x=-2，x=3

　　在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。

　　方程中要求的是>0，

　　只需要观察曲线在数轴上方的部分所取的x的范围就行了。

　　x<-2或03。

　　⑴遇到根是分数或无理数和遇到整数时的处理方法是一样的,都是在数轴上把这个根的位置标出来;

　　⑵“奇过偶不过”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数;

　　比如对于不等式(X-2)2(X-3)>0

　　(X-2)的指数是2,是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点，

　　而(X-3)的指数是1,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点。

　　数学不等式与不等式组的常用解法

　　1.一元一次不等式的解法

　　任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。

　　例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x

　　解：原不等式化为(a-2)x>b+2

　　①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)

　　②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)

　　③当a=2，b≥-2时，其解集为φ

　　④当a=2且b<-2时，其解集为R.

　　2.一元二次不等式的解法

　　任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

　　例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)

　　解：△=16-16a

　　①当a>1时，△<0，其解集为R

　　②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)

　　③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)

　　3.不等式组的解法

　　将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.

　　例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)

　　m 2+4m-12<0(2)

　　解：由①得m<-5或m>1

　　由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)

　　4.分式不等式的解法

　　任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.

　　例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2

　　解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0

　　它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0

　　解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).

　　故原不等式的解集为(-1，43).

　　5.含有绝对值不等式的.解法

　　去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。

　　(1)|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.

　　(2)|x|0)?-a解：原不等式等价于3xx2-4≥1，①或3xx2-4≤-1②

　　解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2

　　故原不等式的解集为[-4，-2)∪(-2，-1]∪[1，2)∪(2，4].

　　例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1

　　解：原不等式等价于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②

　　解①得{x|x<1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x| 例7：解不等式|x+1|+|x|<2

　　解：①当x≤-1时，原不等式变为-x-1-x<2 ∴-32 ②当-1 ∴-1 ③当x>0时，原不等式变为x+1+x<2.

　　∴解得0 综合①，②，③知，原不等式的解集为{x|-32 例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2

　　解：①当x≤1时，原不等式变为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时解集为{x|x<12}.

　　②当12，此时解集为空集。

　　③当22，此时的解集是空集。

　　④当x>3时，原不等式化为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时的解集为{x|x>3}.

　　综合①②③④可知原不等式的解集为{x|x≤12}∪{x|x>3}.从以上两个例子可以看出，解含有两个或两个以上的绝对值的不等式，一般是先找出一些关键数(如例7的关键数是-1，0;例8中的关键数是1，2，3)这些关键数将实数划分为几个区间，在这些区间上，可以根据绝对值的意义去掉绝对值号，从而转化为不含绝对值的不等式，应当注意的是，在解这些不等式时，应该求出交集，最后综合各区间的解集写出答案。

　　6.无理不等式的解法

　　无理不等式f(x)>g(x)的解集为不等式组(I)f(x)≥[g(x)] 2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.

　　无理不等式f(x)0)的解集为不等式组f(x)≥0f(x)<[g(x)] 2g(x)>0的解集.

　　例9：解不等式：2x+5-x-1>0

　　解：原不等式化为：2x+5>x+1 由此得不等式组(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2

　　解(I)得-52≤x<-1，解(II)得-1≤x<2

　　故原不等式的解集为[-52，2].

　　7.指数不等式的解法

　　根据指数函数的单调性来解不等式。

　　例10.解不等式：9x>(3)x+2

　　解：原不等式化为 3 2x>3x+22

　　∴2x>x+22即x>23