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2017九年级数学上期末试题及答案
2017九年级数学期末考试就要到了，同学们要对学过的数学知识一定要多加练习，这样才能进步。以下是小编为你整理的2017九年级数学上期末试题，希望对大家有帮助!
2017九年级数学上期末试题
一、选择题(每小题3分，共12分)
1.我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于( )
A. B. C. D.
4.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是( )
A.AE=BE B. = C.OE=DE D.∠DBC=90°
5.将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )
A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x﹣2)2+3 C.y=3(x+2)2﹣3 D.y=3(x﹣2)2﹣3
6.若ab>0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一坐标系数中的大致图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共24分)
7.方程x2=2x的根为 .
8.已知 =3，则 = .
9.抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是 .
10.如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为 .(杆的宽度忽略不计)
11.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为 .
12.某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元.若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为 .
13.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y= (k<0，x<0)图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD.若四边形ABCD的面积为3，则k值为 .
14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的`一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c=0;④若点B(﹣ ，y1)、C(﹣ ，y2)为函数图象上的两点，则y1
三、解答题(一)(每小题5分，共20分)
15.计算：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1.
16.解方程：x2﹣1=2(x+1).
17.先化简： •(x )，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值.
18.某学校为了了解九年级学生“一份中内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中，选取2名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少?
四、解答题(二)(每小题7分，共28分)
19.△ABC的顶点坐标为A(﹣2，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，2)，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点.
(1)求过点B′的反比例函数解析式;
(2)求线段CC′的长.
20.如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE=4，连接EF交CD于G.若 = ，求AD的长.
21.如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象上有一点A(m，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=
(1)点D的横坐标为 (用含m的式子表示);
(2)求反比例函数的解析式.
22.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南安边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向.回答下列问题：
(1)∠CBA的度数为 .
(2)求出这段河的宽(结果精确到1m，备用数据 ≈1.41， ≈1.73.
五、解答题(三)(每小题10分，共20分)
23.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D.
(1)求证：CD是⊙O的切线;
(2)若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积.
24.课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大?
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积?
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.
六、解答题(四)(每小题10分，共20分)
25.正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点.
(1)建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标;
②求抛物线L的解析式;
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.
26.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?并给予证明.
(3)当点P在对角线CA的延长线上时，且∠OFE=30°时，如图3，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?直接写出结论即可.
2017九年级数学上期末试题答案与解析
一、选择题(每小题3分，共12分)
1.我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确;
B、不是中心对称图形，故本选项错误;
C、不是中心对称图形，故本选项错误;
D、不是中心对称图形，故本选项错误.
故选A.
2.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】概率公式.
【分析】直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案.
【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，
∴朝上一面的数字是偶数的概率为： = .
故选：C.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于( )
A. B. C. D.
【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理.
【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= .
∴cosA= ，
故选：D.
4.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是( )
A.AE=BE B. = C.OE=DE D.∠DBC=90°
【考点】垂径定理;圆周角定理.
【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可.
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
∴AE=BE， = ，故A、B正确;
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，故D正确.
故选C.
5.将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )
A.y=3(x+2)2+3 B.y=3(x﹣2)2+3 C.y=3(x+2)2﹣3 D.y=3(x﹣2)2﹣3
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3;
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3(x+2)2+3.
故选A.
6.若ab>0，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一坐标系数中的大致图象是( )
A. B. C. D.
【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象.
【分析】根据ab>0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可.
【解答】解：A、根据一次函数可判断a>0，b>0，根据反比例函数可判断ab>0，故符合题意，本选项正确;
B、根据一次函数可判断a<0，b<0，根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意，本选项错误;
C、根据一次函数可判断a<0，b>0，根据反比例函数可判断ab>0，故不符合题意，本选项错误;
D、根据一次函数可判断a>0，b>0，根据反比例函数可判断ab<0，故不符合题意，本选项错误;
故选A.
二、填空题(每小题3分，共24分)
7.方程x2=2x的根为 x1=0，x2=2 .
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：x2=2x，
x2﹣2x=0，
x(x﹣2)=0，
x=0，或x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2.
8.已知 =3，则 = 2 .
【考点】比例的性质.
【分析】根据比例的合比性质即可求解.
【解答】解：∵ =3，
∴ =3﹣1=2.
故答案为：2.
9.抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是 (1，﹣3) .
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据抛物线y=a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)直接写出即可.
【解答】解：抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是(1，﹣3).
故答案为(1，﹣3).
10.如图，铁道路口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高为 8m .(杆的宽度忽略不计)
【考点】相似三角形的应用.
【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得 ，即 = ，解之可得.
【解答】解：如图，
由题意知∠BAO=∠C=90°，
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ ，即 = ，
解得：CD=8，
故答案为：8m.
11.如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为 80° .
【考点】切线的性质.
【分析】根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可.
【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°.
故答案为：80°.
12.某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元.若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为 2(1+x)+2(1+x)2=8 .
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程.
【解答】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，
今年的投资金额为：2(1+x);
明年的投资金额为：2(1+x)2;
所以根据题意可得出的方程：2(1+x)+2(1+x)2=8.
故答案为：2(1+x)+2(1+x)2=8.
13.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y= (k<0，x<0)图象上的点，过点A与y轴垂直的`直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD.若四边形ABCD的面积为3，则k值为 ﹣3 .
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到四边形AEOB的面积=AB•OE，由于S平行四边形ABCD=AB•CD=3，得到四边形AEOB的面积=3，即可得到结论.
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥CD，
∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AEOB的面积=AB•OE，
∵S平行四边形ABCD=AB•CD=3，
∴四边形AEOB的面积=3，
∴|k|=3，
∵<0，
∴k=﹣3，
故答案为：﹣3.
14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c=0;④若点B(﹣ ，y1)、C(﹣ ，y2)为函数图象上的两点，则y1
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】①根据抛物线与x轴交点个数可判断;②根据抛物线对称轴可判断;③根据抛物线与x轴的另一个交点坐标可判断;④根据B、C两点到对称轴的距离，可判断.
【解答】解：由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac>0即b2>4ac，故①正确;
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣ =﹣1，即2a﹣b=0，故②错误;
∵抛物线与x轴的交点A坐标为(﹣3，0)且对称轴为x=﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点为(1，0)，
∴将(1，0)代入解析式可得，a+b+c=0，故③正确;
∵a<0，
∴开口向下，
∵|﹣ +1|= ，|﹣ +1= ，
∴y1
综上，正确的结论是：①③④，
故答案为①③④.
三、解答题(一)(每小题5分，共20分)
15.计算：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】本题涉及零指数幂、二次根式化简、绝对值、特殊角的三角函数值四个考点.针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解：：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1
=1﹣|2 × ﹣4|+2
=1﹣|﹣1|+2
=2.
16.解方程：x2﹣1=2(x+1).
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法.
【分析】首先把x2﹣1化为(x+1)(x﹣1)，然后提取公因式(x+1)，进而求出方程的解.
【解答】解：∵x2﹣1=2(x+1)，
∴(x+1)(x﹣1)=2(x+1)，
∴(x+1)(x﹣3)=0，
∴x1=﹣1，x2=3.
17.先化简： •(x )，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值.
【考点】分式的化简求值.
【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论.
【解答】解：原式= • • ，
= • ，
=x+1.
∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，
∴当x=2时，原式=2+1=3.
18.某学校为了了解九年级学生“一份中内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中，选取2名同时跳绳，请你用列表或画树状图求恰好选中一男一女的概率是多少?
【考点】列表法与树状图法.
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：画树状图为：
共12种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，
所以恰好选中一男一女的概率= = .
四、解答题(二)(每小题7分，共28分)
19.△ABC的顶点坐标为A(﹣2，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，2)，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点.
(1)求过点B′的反比例函数解析式;
(2)求线段CC′的长.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式;坐标与图形变化﹣旋转.
【分析】(1)据图形旋转方向以及旋转中心和旋转角度得出对应点，根据待定系数法，即可求出解.
(2)根据勾股定理求得OC，然后根据旋转的旋转求得OC′，最后根据勾股定理即可求得.
【解答】解：(1)如图所示：由图知B点的坐标为(﹣3，1)，根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，
点B的对应点B′的坐标为(1，3)，
设过点B′的反比例函数解析式为y= ，
∴k=3×1=3，
∴过点B′的反比例函数解析式为y= .
(2)∵C(﹣1，2)，
∴OC= = ，
∵△ABC以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，
∴OC′=OC= ，
∴CC′= = .
20.如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE=4，连接EF交CD于G.若 = ，求AD的长.
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得答案.
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵DF∥EC，
∴△DFG∽CEG，
∴ = = ，
∴CE=6，
∴AD=BC=BE+CE=10.
21.如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y= (x>0)的图象上有一点A(m，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=
(1)点D的横坐标为 m+2 (用含m的式子表示);
(2)求反比例函数的解析式.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化﹣平移.
【分析】(1)由点A(m，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，可求得点C的坐标，又由过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD= ，即可表示出点D的横坐标;
(2)由点D的坐标为：(m+2， )，点A(m，4)，即可得方程4m= (m+2)，继而求得答案.
【解答】解：(1)∵A(m，4)，AB⊥x轴于点B，
∴B的坐标为(m，0)，
∵将点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为：(m+2，0)，
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标为：m+2;
故答案为：m+2;
(2)∵CD∥y轴，CD= ，
∴点D的坐标为：(m+2， )，
∵A，D在反比例函数y= (x>0)的图象上，
∴4m= (m+2)，
解得：m=1，
∴点A的坐标为(1，4)，
∴k=4m=4，
∴反比例函数的解析式为：y= .
22.如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南安边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向.回答下列问题：
(1)∠CBA的度数为 15° .
(2)求出这段河的宽(结果精确到1m，备用数据 ≈1.41， ≈1.73.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.
【分析】(1)根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可;
(2)作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可.
【解答】解：(1)由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°，
∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°.
故答案为15°;
(2)作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD=xm，
∵∠BCA=30°，
∴CD= = x，
∵∠BAD=45°，
∴AD=BD=x，
∵CD﹣AD=AC=60，
∴ x﹣x=60，
解得x=30( +1)≈82，
答：这段河的宽约为82m.
五、解答题(三)(每小题10分，共20分)
23.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D.
(1)求证：CD是⊙O的切线;
(2)若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积.
【考点】切线的判定;扇形面积的计算.
【分析】(1)先证明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解决问题.
(2)根据S阴=S△ACD﹣(S扇形OAC﹣S△AOC)计算即可.
【解答】解：(1)连接OC.
∵OA=OC.
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠MAC=∠OAC，
∴∠MAC=∠OCA，
∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
(2)在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，
∴AC=2AD=8，CD= AD=4 ，
∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴S阴=S△ACD﹣(S扇形OAC﹣S△AOC)
= ×4×4 ﹣( ﹣ ×82)
=24 ﹣ π.
24.课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大?
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积?
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据矩形和正方形的周长进行解答即可;
(2)设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可.
【解答】解：(1)由已知可得：AD= ，
则S=1× m2，
(2)设AB=xm，则AD=3﹣ m，
∵ ，
∴ ，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当x= m时，且x= m在 的范围内， ，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.
六、解答题(四)(每小题10分，共20分)
25.正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点.
(1)建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标;
②求抛物线L的解析式;
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系.①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标;②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论.
【解答】解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示.
①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，
∴点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2).
②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线L经过O、P、A三点，
∴有 ，
解得： ，
∴抛物线L的解析式为y=﹣ +2x.
(2)∵点E是正方形内的抛物线上的动点，
∴设点E的坐标为(m，﹣ +2m)(0
∴S△OAE+SOCE= OA•yE+ OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣(m﹣3)2+9，
∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9.
26.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，点O为AC的中点.
(1)当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF
(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?并给予证明.
(3)当点P在对角线CA的延长线上时，且∠OFE=30°时，如图3，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?直接写出结论即可.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)由△AOE≌△COF即可得出结论.
(2)图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题.
(3)图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似.
【解答】解：(1)∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF.
(2)图2中的结论为：CF=OE+AE.
图3中的结论为：CF=OE﹣AE.
选图2中的结论证明如下：
延长EO交CF于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
，
∴△EOA≌△GOC(ASA)，
∴EO=GO，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE.
选图3的结论证明如下：
延长EO交FC的延长线于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG(AAS)，
∴OE=OG，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°﹣30°=60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG﹣CG，
∴CF=OE﹣AE.
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