初三数学知识点总结必备(15篇)

　　总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性的经验方法以及结论的书面材料，它可使零星的、肤浅的、表面的感性认知上升到全面的、系统的、本质的理性认识上来，因此十分有必须要写一份总结哦。总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编帮大家整理的初三数学知识点总结，希望对大家有所帮助。

初三数学知识点总结必备(15篇)

初三数学知识点总结1

　　单项式与多项式

　　仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。

　　单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。

　　当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。

　　一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

　　如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项所有的常数都是同类项。

　　1、多项式

　　有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。

　　多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。

　　单项式可以看作是多项式的特例

　　把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。

　　在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。

　　2、多项式的值

　　任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。

　　3、多项式的恒等

　　对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。

　　性质1如果fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。

　　性质2如果fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等。

　　4、一元多项式的根

　　一般地，能够使多项式fx的值等于0的未知数x的值，叫做多项式fx的根。

　　多项式的.加、减法，乘法

　　1、多项式的加、减法

　　2、多项式的乘法

　　单项式相乘，用它们系数作为积的系数，对于相同的字母因式，则连同它的指数作为积的一个因式。

　　3、多项式的乘法

　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项，再把所得的积相加。

　　常用乘法公式

　　公式I平方差公式

　　a+ba—b=a^2—b^2

　　两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

初三数学知识点总结2

　　第21章二次根式

　　1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式。

　　注意：

　　（1）若这个条件不成立，则不是二次根式；

　　（2）是一个重要的非负数，即； ≥0。

　　2、重要公式：

　　3、积的算术平方根：

　　积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

　　4、二次根式的乘法法则：。

　　5、二次根式比较大小的方法：

　　（1）利用近似值比大小；

　　（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

　　（3）分别平方，然后比大小。

　　6、商的算术平方根：，

　　商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

　　7、二次根式的除法法则：

　　分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。

　　8、最简二次根式：

　　（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，

　　①被开方数的因数是整数，因式是整式，

　　②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

　　（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；

　　（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

　　（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

　　9、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

　　10、二次根式的混合运算：

　　（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

　　（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。

　　第22章一元二次方程

　　1、一元二次方程的一般形式：

　　a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的.a、 b、 c；其中a 、 b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。

　　2、一元二次方程的解法：一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少。

　　3。一元二次方程根的判别式：当ax2+bx+c=0

　　（a≠0）时，Δ=b2—4ac叫一元二次方程根的判别式。请注意以下等价命题：

　　Δ>0 <=>有两个不等的实根；

　　Δ=0 <=>有两个相等的实根；Δ<0 <=>无实根；

　　4.初三数学二次函数图像

　　对于一般式：①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。

　　②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。

　　③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。

　　④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。(即绕原点旋转180度后得到的图形)

　　对于顶点式：

　　①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

　　②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

　　③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h,k)和(h,k)相同，开口方向相反。

　　④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。(其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)

初三数学知识点总结10

　　圆的全章复习

　　圆的基础知识(1)圆的有关概念：

　　弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。

　　(2)圆的确定

　　圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。注意：作图（两边中垂线找交点），外心的位置，外心到三角形各顶点距离等

　　圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性

　　2.圆与其它图形

　　（1）点与圆三种

　　（2）直线与圆

　　相离dr

　　①一条直线与圆三种相切dr

　　相交d

　　r②两条直线与圆有关的角：圆周角，弦切角，圆外角等比例线段：圆幂定理等

　　③三条直线与圆即三角形与圆

　　三角形“四心”的区别：垂心意义三条高的交点性质等式积：位置锐角三角形：内部直角三角形：直角顶点钝角三角形：外部必在三角形内部ahabhbchc重心三条中线的交点同一中线上重心到顶点的距离是它到该顶点的对边距离的2倍外心

　　1.外接圆的圆心

　　2.三边中垂线的交点

　　3.内切圆的圆心

　　4.三条角平分线的交点到三角形三顶点距离相等锐角三角形：内部直角三角形：斜边中点钝角三角形：外部到三角形三边距离相等与顶点连线平分该内角必在三角形内部内心

　　④四条直线与圆为180内切四边形：对角之和的和相等外切四边形：两组对边

　　（3）两圆与直线

　　两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。

　　两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。

　　3.圆与圆的位置关系：

　　(1).掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r2及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。

　　(2).在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。

　　(3).在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。

　　(4).当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。当两圆内切时，连心线垂直于公切线。当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。

　　(5).公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。(Rr)（外离时）

　　(6).如图内公切线长d(Rr)（外离、外切、相交时）外公切线长dd圆心距

　　R大圆半径

　　r小圆半径

　　R≥r

　　2222

　　内公切线Rr夹角一半sin

　　d的正弦值

　　外公切线Rr夹角一半sin

　　d的正弦值

　　(7).公切线条数①内含0条0dRr②内切1条dRr③相交2条RrdRr④外切3条dRr⑤外离4条dRr4,定理

　　（1）垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；知2求3。

　　（2）圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。

　　（3）与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角

　　1.一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一它所对弧度数的一半半，圆周角的`度数等于角相等；

　　2.同弧或等弧所对的圆周圆周角的性质相等的圆周角所对的弧也相等

　　3.直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直角

　　（4）切线的判定、性质：

　　①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，“连垂切”或作垂直证d＝r

　　②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。常见“切连垂”

　　（5）和圆有关的比例线段：

　　相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理

　　5.和圆有关的计算

　　（1）求线段

　　①直径、半径

　　②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高

　　③切线长、公切线长（外公切线长，内公切线长）

　　④直角三角形内切圆半径

　　⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系

　　⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2

　　⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等

　　（2）求角

　　圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角

　　6.常见辅助线

　　半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线

　　7.圆中常见图形

　　直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形

　　8.正多边形和圆

　　(n2)180正n边形的内角和为(n2)180有n个相等的内角，每个内角的度数为

　　n注意：正多边形的外交和始终为3609.弧长公式：lnR

　　180nR210.扇形面积公式：3

初三数学知识点总结11

　　第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

　　主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

　　第二：平面向量和三角函数。

　　重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。

　　第三：数列。

　　数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

　　第四：空间向量和立体几何。

　　在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

　　第五：概率和统计。

　　这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

　　第六：解析几何。

　　这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是20xx年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

　　第七：押轴题。

　　考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。

　　第一轮数学复习主要知识点总结2：参数方程定义

　　一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)

　　并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。

　　第一轮数学复习主要知识点总结3：参数方程

　　圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数

　　椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数

　　双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数

　　抛物线的参数方程x=2pt?y=2ptp表示焦点到准线的.距离t为参数

　　直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过(x',y')，且倾斜角为a,t为参数

　　第一轮数学复习主要知识点总结4：几何

　　(1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右，占总分值的20%左右。

　　(2)整体平衡，重点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

　　① 求曲线方程( 类型确定、类型未定);

　　②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);

　　③与曲线有关的最(极)值问题;

　　④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);

　　⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;

　　(3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。

　　(4)题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。

初三数学知识点总结12

　　直角三角形的判定方法：

　　判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。

　　判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。

　　判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的'一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

　　判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

　　判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么

　　判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

　　判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

初三数学知识点总结13

　　不等式的概念

　　1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

　　2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

　　3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

　　4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

　　5、用数轴表示不等式的方法。

　　不等式基本性质

　　1、不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

　　2、不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

　　3、不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

　　4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的'数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

　　一元一次不等式

　　1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

　　2、解一元一次不等式的一般步骤：1去分母2去括号3移项4合并同类项5将x项的系数化为1。

　　一元一次不等式组

　　1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

　　2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

　　3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

　　4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

　　5、一元一次不等式组的解法

　　1分别求出不等式组中各个不等式的解集。

　　2利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

　　6、不等式与不等式组

　　不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

　　7、不等式的解集：

　　①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

　　②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

　　③求不等式解集的过程叫做解不等式。

初三数学知识点总结14

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c。

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax+bx+c=0。

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1.二次函数y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。当h>0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到。

　　当h<0时，则向xxx移动|h|个单位得到。

　　当h>0，k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象。

　　当h>0，k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

　　当h<0，k>0时，将抛物线向xxx移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

　　当h<0,k<0时，将抛物线向xxx移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

　　因此，研究抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便。

　　2.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a)。

　　3.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。

　　4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)。

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|。

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

　　5.抛物线y=ax+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a。

　　顶点的横坐标，是取得最值时的`自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a≠0)。

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a≠0)。

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。

初三数学知识点总结15

　　一、二次函数概念：

　　a0）b，c是常数

　　1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。这c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，数．

　　2.二次函数yax2bxc的结构特征：

　　⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

　　⑵a，二、二次函数的基本形式

　　1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

　　a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上00，00，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．

　　2.yax2c的性质：上加下减。

　　a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上c0，c0，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．

　　3.yaxh的性质：左加右减。

　　2a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上0h，0h，性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a02向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．

　　4.yaxhk的性质：

　　a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，kh，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．

　　三、二次函数图象的平移

　　1.平移步骤：

　　方法一：

　　⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；

　　⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

　　向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

　　画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

　　六、二次函数yax2bxc的性质

　　b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

　　2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a4acb2值．

　　4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随．当x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

　　2a2a4a

　　七、二次函数解析式的表示方法

　　1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

　　2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

　　3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

　　注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

　　八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

　　1.二次项系数a

　　二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

　　⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

　　⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

　　总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

　　2.一次项系数b

　　在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

　　⑴在a0的前提下，当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a

　　总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

　　ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同2a右异”总结：

　　3.常数项c

　　⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

　　⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

　　⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

　　b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的'确定：

　　根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

　　1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

　　2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

　　3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

　　4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

　　九、二次函数图象的对称

　　二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

　　1.关于x轴对称

　　yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

　　yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

　　2.关于y轴对称

　　yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

　　22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

　　3.关于原点对称

　　yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

　　4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

　　2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

　　2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．n对称

　　5.关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

　　十、二次函数与一元二次方程：

　　1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

　　一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：

　　①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

　　b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

　　②当0时，图象与x轴只有一个交点；

　　③当0时，图象与x轴没有交点.

　　1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

　　2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

　　2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　3.二次函数常用解题方法总结：

　　⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；