全国初二数学竞赛试题

　　数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。以下是全国初二数学竞赛试题，欢迎阅读。

全国初二数学竞赛试题

　　一、选择题：(本题共有10小题，每小题3分，共30分)

　　1.下列各组数不可能是一个三角形的边长的是()

　　A.1，2，3B.4，4，4C.6，6，8D.7，8，9

　　考点：三角形三边关系.

　　分析：看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可.

　　解答：解：A、1+2=3，不能构成三角形;

　　B、4+4>4，能构成三角形;

　　C、6+6>8，能构成三角形;

　　D、7+8>9，能构成三角形.

　　故选A.

　　点评：本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形.

　　2.若x>y，则下列式子错误的是()

　　A.x﹣2>y﹣2B.x+1>y+1C.﹣5x>﹣5yD.>

　　考点：不等式的性质.

　　分析：根据不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

　　解答：解：A、两边都减2，故A正确;

　　B、两边都加1，故B正确;

　　C、两边都乘﹣5，故C错误;

　　D、两边都除5，故D正确;

　　故选：C.

　　点评：主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质：

　　(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

　　(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

　　(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

　　3.△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，且CD=4，则AB=()

　　A.4B.8C.10D.16

　　考点：直角三角形斜边上的中线.

　　分析：根据直角三角形斜边上中线性质求出AB=2CD，代入求出即可.

　　解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD=4，

　　∴AB=2CD=8，

　　故选B.

　　点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出AB=2CD，是一道简单的题目.

　　4.下列句子属于命题的是()

　　A.正数大于一切负数吗?B.将16开平方

　　C.钝角大于直角D.作线段AB的中点

　　考点：命题与定理.

　　分析：根据命题的定义分别对各选项进行判断.

　　解答：解：A、正数大于一切负数吗?为疑问句，它不是命题，所以A选项错误;

　　B、将16开平方为陈述句，它不是命题，所以B选项错误;

　　C、钝角大于直角是命题，所以C选项正确;

　　D、作线段的中点为陈述句，它不是命题，所以D选项错误.

　　故选C.

　　点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

　　5.对于一次函数y=kx﹣k(k≠0)，下列叙述正确的是()

　　A.当k>0时，函数经过第一、二、三象限

　　B.当k>0时，y随x的增大而减小

　　C.当k<0时，函数一定交于y轴负半轴一点

　　D.函数一定经过点(1，0)

　　考点：一次函数的性质.

　　分析：根据一次函数与系数的关系对A、B、C进行判断;根据一次函数上点的坐标特征对D进行判断.

　　解答：解：A、当k>0时，﹣k<0，函数经过第一、三、四象限，故本选项错误;

　　B、当k>0时，y随x的增大而增大，故本选项错误;

　　C、当k<0时，﹣k>0，函数一定交于y轴的正半轴，故本选项错误;

　　D、把x=1代入y=kx﹣k得y=k﹣k=0，则函数一定经过点(1，0)，故本选项正确.

　　故选：D.

　　点评：本题考查了一次函数与系数的关系：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是一条直线，当k>0，经过第一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0，经过第二、四象限，y随x的增大而减小;与y轴的交点坐标为(0，b).

　　6.在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是()

　　A.BE=CFB.BE=ECC.EC=CFD.AC∥DF

　　考点：全等三角形的判定.

　　分析：可添加条件BE=CF，进而得到BC=EF，然后再加条件AB=DE，AC=DF可利用SSS定理证明△ABC≌△DEF.

　　解答：解：可添加条件BE=CF，

　　理由：∵BE=CF，

　　∴BE+EC=CF+EC，

　　即BC=EF，

　　在△ABC和△DEF中，

　　，

　　∴△ABC≌△DEF(SSS)，

　　故选A.

　　点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

　　注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

　　7.若不等式组有解，则a的取值范围是()

　　A.a>2B.a<2C.a≤2D.a≥2

　　考点：不等式的解集.

　　分析：根据求不等式解集的方法：小大大小中间找，可得答案.

　　解答：解：若不等式组有解，则a的取值范围是a<2.

　　故选：B.

　　点评：解答此题要根据不等式组解集的求法解答.求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

　　8.已知点A(﹣3，2)与点B(x，y)在同一条平行y轴的直线上，且B点到x轴的矩离等于3，则B点的坐标是()

　　A.(﹣3，3)B.(3，﹣3)C.(﹣3，3)或(﹣3，﹣3)D.(﹣3，3)或(3，﹣3)

　　考点：坐标与图形性质.

　　专题：计算题.

　　分析：利用平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同得到x=﹣3，再根据B点到x轴的矩离等于3得到|y|=3，然后求出y即可得到B点坐标.

　　解答：解：∵点A(﹣3，2)与点B(x，y)在同一条平行y轴的直线上，

　　∴x=﹣3，

　　∵B点到x轴的矩离等于3，

　　∴|y|=3，即y=3或﹣3，

　　∴B点的坐标为(﹣3，3)或(﹣3，3).

　　故选C.

　　点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系.点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关.

　　9.下列命题是真命题的是()

　　A.等边对等角

　　B.周长相等的两个等腰三角形全等

　　C.等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合

　　D.三角形一条边的两个顶点到这条边上的`中线所在直线的距离相等

　　考点：命题与定理.

　　分析：根据三角形的边角关系对A进行判断;根据全等三角形的判定方法对B进行判断;根据等腰三角形的性质对C进行判断;利用三角形全等可对D进行判断.

　　解答：解：A、在一个三角形中，等边对等角，所以A选项错误;

　　B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，所以B选项错误;

　　C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，所以C选项错误;

　　D、三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D选项正确.

　　故选D.

　　10.等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是△ABC内一点，OA=6，OB=4，OC=10，O′为△ABC外一点，且△CBO≌△ABO′，则四边形AO′BO的面积为()

　　A.10B.16C.40D.80

　　考点：勾股定理的逆定理;全等三角形的性质;等腰直角三角形.

　　分析：连结OO′.先由△CBO≌△ABO′，得出OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，根据等式的性质得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，则O′O=8.再利用勾股定理的逆定理证明OA2+O′O2=O′A2，得到∠AOO′=90°，那么根据S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′，即可求解.

　　解答：解：连结OO′.

　　∵△CBO≌△ABO′，

　　∴OB=O′B=4，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，

　　∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，

　　∴∠O′BO=90°，

　　∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，

　　∴O′O=8.

　　在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，

　　∴OA2+O′O2=O′A2，

　　∴∠AOO′=90°，

　　∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=×6×8+×4×4=24+16=40.

　　故选C.

　　点评：本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键.

　　二、填空题：(本题共有6小题，每小题4分，共24分)

　　11.使式子有意义的x的取值范围是x≤4.

　　考点：二次根式有意义的条件.

　　分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解.

　　解答：解：使式子有意义，

　　则4﹣x≥0，即x≤4时.

　　则x的取值范围是x≤4.

　　点评：主要考查了二次根式的意义和性质.概念：式子(a≥0)叫二次根式.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

　　12.圆周长C与圆的半径r之间的关系为C=2πr，其中变量是C、r，常量是2π.

　　考点：常量与变量.

　　分析：根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量.

　　解答：解：∵在圆的周长公式C=2πr中，C与r是改变的，π是不变的;

　　∴变量是C，r，常量是2π.

　　故答案为：C，r;2π.

　　点评：主要考查了函数的定义.函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量.

　　13.一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的面积为.

　　考点：等边三角形的性质.

　　分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题.

　　解答：解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，

　　∴BD=CD=1，

　　在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，

　　∴AD===，

　　∴S△ABC=BCAD=×2×=，

　　故答案为：.

　　点评：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键.

　　14.一次函数y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，则线段AB的长为5.

　　考点：一次函数上点的坐标特征.

　　分析：先求出A，B两点的坐标，再根据勾股定理即可得出结论.

　　解答：解：∵一次函数y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，

　　∴A(3，0)，B(0，4)，

　　∴AB==5.

　　故答案为：5.

　　点评：本题考查的是一次函数上点的坐标特点，熟知一次函数上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

　　15.平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为(﹣2，﹣1)，则点A坐标为(﹣1，2)，点B坐标为(﹣3，1).

　　考点：正方形的性质;坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质.

　　分析：过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥CE交CE的延长线于F，根据点C的坐标求出OE、CE，再根据正方形的性质可得OA=OC=BC，再求出∠AOD=∠COE=∠BCF，然后求出△AOD、△COE、△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE=BF，OD=OE=CF，然后求解即可.

　　解答：解：过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥CE交CE的延长线于F，

　　∵C(﹣2，﹣1)，

　　∴OE=2，CE=1，

　　∵四边形OABC是正方形，

　　∴OA=OC=BC，

　　易求∠AOD=∠COE=∠BCF，

　　又∵∠ODA=∠OEC=∠F=90°，

　　∴△AOD≌△COE≌△BCF，

　　∴AD=CE=BF=1，OD=OE=CF=2，

　　∴点A的坐标为(﹣1，2)，EF=2﹣1=1，

　　点B到y轴的距离为1+2=3，

　　∴点B的坐标为(﹣3，1).

　　故答案为：(﹣1，2);(﹣3，1).

　　点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形.

　　16.直线l：y=x+2交y轴于点A，以AO为直角边长作等腰Rt△AOB，再过B点作等腰Rt△A1BB1交直线l于点A1，再过B1点再作等腰Rt△A2B1B2交直线l于点A2，以此类推，继续作等腰Rt△A3B2B3﹣﹣﹣，Rt△AnBn﹣1Bn，其中点A0A1A2…An都在直线l上，点B0B1B2…Bn都在x轴上，且∠A1BB1，∠A2B1B2，∠A3B2B3…∠An﹣1BnBn﹣1都为直角.则点A3的坐标为(14，16)，点An的坐标为(2n，2n+2).

　　考点：一次函数上点的坐标特征;等腰直角三角形.

　　专题：规律型.

　　分析：先求出A点坐标，根据等腰三角形的性质可得出OB的长，故可得出A1的坐标，同理即可得出A2，A3的坐标，找出规律即可.

　　解答：解：∵直线ly=x+2交y轴于点A，

　　∴A(0，2).

　　∵△OAB是等腰直角三角形，

　　∴OB=OA=2，

　　∴A1(2，4).

　　同理可得A2(6，8)，A3(14，16)，…

　　An(2n+1﹣2，2n+1).

　　故答案为：(14，16)，(2n+1﹣2，2n+1).

　　点评：本题考查的是一次函数上点的坐标特点，熟知一次函数上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

　　三、解答题：(本题共有7小题，共66分)

　　17.解下列不等式(组)：

　　(1)4x+5≥1﹣2x

　　(2)

　　(3)+﹣×(2+)

　　考点：二次根式的混合运算;解一元一次不等式;解一元一次不等式组.

　　专题：计算题.

　　分析：(1)先移项，然后合并后把x的系数化为1即可;

　　(2)分别两两个不等式，然后根据同大取大确定不等式组的解集;

　　(3)先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可.

　　解答：解：(1)4x+2x≥1﹣5，

　　6x≥﹣4，

　　所以x≥﹣;

　　(2)，

　　解①得x≥，

　　解②得x≥﹣1，

　　所以不等式的解为x≥;

　　(3)原式=2+﹣(2+2)

　　=2+﹣2﹣2

　　=﹣2.

　　点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂和负整数指数幂.也考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组.

　　18.已知△ABC，其中AB=AC.

　　(1)作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连结CE

　　(2)在(1)若BC=7，AC=9，求△BCE的周长.

　　(2)首先根据等腰三角形的性质，得到AB=AC=9，再根据垂直平分线的性质可得AE=CE，进而可算出周长.

　　解答：解：(1)直线DE即为所求;

　　(2)∵AB=AC=9，

　　∵DE垂直平分AB，

　　∴AE=EC，

　　∴△BCE的周长=BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=16.

　　19.已知y是关于x的一次函数，且当x=1时，y=﹣4;当x=2时，y=﹣6.

　　(1)求y关于x的函数表达式;

　　(2)若﹣2

　　(3)试判断点P(a，﹣2a+3)是否在函数的图象上，并说明理由.

　　考点：待定系数法求一次函数解析式;一次函数的性质;一次函数图象上点的坐标特征.

　　分析：(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;

　　(2)求得x=﹣2和x=4时，对应的y的值，从而求得y的范围;

　　(3)把P代入函数解析式进行判断即可.

　　解答：解：(1)设y与x的函数解析式是y=kx+b，

　　根据题意得：，

　　解得：，

　　则函数解析式是：y=﹣2x﹣2;

　　(2)当x=﹣2时，y=2，当x=4时，y=﹣10，则y的范围是：﹣10

　　(2)当x=a是，y=﹣2a﹣2.则点P(a，﹣2a+3)不在函数的图象上.

　　点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式.先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式.当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解.

　　20.已知，△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为A(4，0)，B(0，﹣3)，C(2，﹣4).

　　(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并分别写出点A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′的坐标;

　　(2)将△ABC向左平移5个单位，请画出平移后的△A″B″C″，并写出△A″B″C″各个顶点的坐标.

　　(3)求出(2)中的△ABC在平移过程中所扫过的面积.

　　分析：(1)根据网格结构找出点A、B、C以及点A′，B′，C′位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标;

　　(2)根据网格结构找出点A、B、C向左平移5个单位的对应点A″、B″、C″，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标;

　　(3)根据△ABC扫过的面积等于一个平行四边形的面积加上△ABC的面积列式计算即可得解.

　　解答：解：(1)△ABCA′(4，0)，B′(0，3)，C′(2，4);

　　(2)△A″B″C″A″(﹣1，0)，B″(﹣5，﹣3)，C″(﹣3，﹣4);

　　(3)△ABC在平移过程中所扫过的面积=5×4+(4×4﹣×4×3﹣×1×2﹣×2×4)，

　　=20+(16﹣6﹣1﹣4)，

　　=20+5，

　　=25.

　　21.△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF

　　(1)求证：△ABE≌△CBF;

　　(2)若∠CAE=25°，求∠ACF的度数.

　　考点：全等三角形的判定与性质.

　　分析：(1)运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题.

　　(2)证明∠BAE=∠BCF=25°;求出∠ACB=45°，即可解决问题.

　　解答：解：(1)在Rt△ABE与Rt△CBF中，

　　，

　　∴△ABE≌△CBF(HL).

　　(2)∵△ABE≌△CBF，

　　∴∠BAE=∠BCF=25°;

　　∵AB=BC，∠ABC=90°，

　　∴∠ACB=45°，

　　∴∠ACF=70°.

　　点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题;准确找出隐含的相等或全等关系是解题的关键.

　　22.某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍.设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.

　　(1)求y与x的关系式;

　　(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大?

　　(3)若限定商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元?若能，请求出此时该商店购进A型电脑的台数;若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围.

　　考点：一次函数的应用.

　　分析：(1)据题意即可得出y=﹣20x+14000;

　　(2)利用不等式求出x的范围，又因为y=﹣20x+14000是减函数，所以得出y的最大值，

　　(3)据题意得，y=(100+m)x+140(100﹣x)，即y=(m﹣40)x+14000，分三种情况讨论，①当00，y随x的增大而增大，分别进行求解.

　　解答：解：(1)由题意可得：y=120x+140(100﹣x)=﹣20x+14000;

　　(2)据题意得，100﹣x≤3x，解得x≥25，

　　∵y=﹣20x+14000，﹣20<0，

　　∴y随x的增大而减小，

　　∵x为正整数，

　　∴当x=25时，y取最大值，则100﹣x=75，

　　即商店购进25台A型电脑和75台B型电脑的销售利润最大;

　　(3)据题意得，y=(100+m)x+140(100﹣x)，即y=(m﹣40)x+14000，

　　25≤x≤60

　　①当0

　　∴当x=25时，y取最大值，

　　即商店购进25台A型电脑和75台B型电脑的销售利润最大.

　　②m=40时，m﹣40=0，y=14000，

　　即商店购进A型电脑数量满足25≤x≤60的整数时，均获得最大利润;

　　③当400，y随x的增大而增大，

　　∴当x=60时，y取得最大值.

　　即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大.

　　点评：本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况.

　　23.直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P.

　　(1)求点P坐标和b的值;

　　(2)若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动.设点Q的运动时间为t秒.

　　①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式;

　　②求出t为多少时，△APQ的面积小于3;

　　③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形?若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由.

　　考点：一次函数综合题.

　　分析：(1)把P(m，3)的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b;

　　(2)根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ=9﹣t，然后根据S=AQ|yP|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式;②通过解不等式﹣t+<3，即可求得t>7时，△APQ的面积小于3;③分三种情况：当PQ=PA时，则(t﹣7+1)2+(0﹣3)2=(2+1)2+(0﹣3)2，当AQ=PA时，则(t﹣7﹣2)2=(2+1)2+(0﹣3)2，当PQ=AQ时，则(t﹣7+1)2+(0﹣3)2=(t﹣7﹣2)2，即可求得.

　　解答：解;(1)∵点P(m，3)为直线l1上一点，

　　∴3=﹣m+2，解得m=﹣1，

　　∴点P的坐标为(﹣1，3)，

　　把点P的坐标代入y2=x+b得，3=×(﹣1)+b，

　　解得b=;

　　(2)∵b=，

　　∴直线l2的解析式为y=x+，

　　∴C点的坐标为(﹣7，0)，

　　①由直线l1：y1=﹣x+2可知A(2，0)，

　　∴当Q在A、C之间时，AQ=2+7﹣t=9﹣t，

　　∴S=AQ|yP|=×(9﹣t)×3=﹣t;

　　当Q在A的右边时，AQ=t﹣9，