《方程的根与函数的零点》教学设计

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《方程的根与函数的零点》教学设计

　　作为一名人民教师，通常需要用到教学设计来辅助教学，教学设计是一个系统设计并实现学习目标的过程，它遵循学习效果最优的原则吗，是课件开发质量高低的关键所在。那么优秀的教学设计是什么样的呢？以下是小编帮大家整理的《方程的根与函数的零点》教学设计，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

《方程的根与函数的零点》教学设计

《方程的根与函数的零点》教学设计1

　　一、教学目标

　　（1）知识与技能：

　　结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。

　　（2）过程与方法：

　　培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。

　　（3）情感态度与价值观：

　　在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。

　　二、教学重难点

　　重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念

　　难点：函数零点与方程根之间的联系

　　三、教法学法

　　以问题为载体，学生活动为主线，以多媒体辅助教学为手段利用探究式教学法，构建学生自主探究、合作交流的平台

　　四、教学过程

　　1．创设问题情境，引入新课

　　问题1求下列方程的根

　　师生互动:问题1让学生通过自主解前3小题，复习一元二次方程根三种情形。

　　问题2填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x轴的.交点的关系？

　　师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律

　　问题3完成表格，并观察一元二次方程的根与相应二函数图象与x轴交点的关系？

　　师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。

　　2．建构函数零点概念

　　函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

　　思考：

　　（1）零点是一个点吗？

　　（2）零点跟方程的根的关系？

　　(3)请你说出问题2中3个函数的零点及个数？（投影问题2的表格）

　　师生互动:教师逐一给出3个问题，让学生思考回答，教师对回答正确学生给予表扬，不正确学生给予提示与鼓励。

　　3．知识的延伸，得出等价关系

　　(1)方程f(x)=0有实数根(2)函数y=f(x)有零点

　　(3)函数y=f(x)的图象与x轴有交点

《方程的根与函数的零点》教学设计2

　　学习目标

　　1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

　　2.掌握零点存在的判定定理.

　　学习过程

　　一、课前准备

　　（预习教材P86~P88，找出疑惑之处）

　　复习1：一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.

　　判别式=.

　　当0，方程有两根，为；

　　当0，方程有一根，为；

　　当0，方程无实根.

　　复习2：方程+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象之间有什么关系？

　　判别式一元二次方程二次函数图象

　　二、新课导学

　　※学习探究

　　探究任务一：函数零点与方程的根的关系

　　问题：

　　①方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.

　　②方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.

　　③方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.

　　根据以上结论，可以得到：

　　一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的.

　　你能将结论进一步推广到吗？

　　新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zeropoint）.

　　反思：

　　函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的.横坐标，三者有什么关系？

　　试试：

　　（1）函数的零点为；（2）函数的零点为.

　　小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.

　　探究任务二：零点存在性定理

　　问题：

　　①作出的图象，求的值，观察和的符号

　　②观察下面函数的图象，

　　在区间上零点；0；

　　在区间上零点；0.

　　新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有<0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.

　　讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析.

　　※典型例题

　　例1求函数的零点的个数.

　　变式：求函数的零点所在区间.

　　小结：函数零点的求法.

　　①代数法：求方程的实数根；

　　②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

　　※动手试试

　　练1.求下列函数的零点：

　　（1）；

　　（2）.

　　练2.求函数的零点所在的大致区间.

　　三、总结提升

　　※学习小结

　　①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

　　※知识拓展

　　图象连续的函数的零点的性质：

　　（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.

　　推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.

　　（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

　　学习评价

　　※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

　　A.很好B.较好C.一般D.较差

　　※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

　　1.函数的零点个数为（）.

　　A.1B.2C.3D.4

　　2.若函数在上连续，且有．则函数在上（）.

　　A.一定没有零点B.至少有一个零点

　　C.只有一个零点D.零点情况不确定

　　3.函数的零点所在区间为（）.

　　A.B.C.D.

　　4.函数的零点为.

　　5.若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为.

　　课后作业

　　1.求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

　　2.已知函数.

　　（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；

　　（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.

《方程的根与函数的零点》教学设计3

　　一、教学内容解析

　　本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。

　　函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f(x)=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

　　函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如定理应用的局限性，即定理的前提是函数的图象必须是连续的，定理只能判定函数的“变号”零点;定理结论中零点存在但不一定唯一，需要结合函数的图象和性质作进一步的判断。

　　对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则.从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

　　函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”;一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

　　本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。

　　二、教学目标解析

　　1.结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，从而了解函数的零点与方程根的联系。

　　2.结合函数图象，通过观察分析特殊函数的零点存在的特点，通过问题，理解连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，并能由此方法判定函数在某个区间上存在零点。了解定理应用的前提条件，应用的局限性，及定理的准确结论。

　　3.通过具体实例，学生能结合函数的图象和性质进一步判断函数零点的个数。

　　4.在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想。

　　三、教学问题诊断分析

　　1.通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初步树立起函数应用的意识。并从此出发，通过问题的设置，引导学生思考，再通过实例的确认与体验，从直观到抽象，从特殊到一般的学习方式，捅破学生认识上的这层“窗户纸”。

　　2.对于零点存在的判定定理，教材不要求给予其证明，这需要教师提供一定量的具体案例让学生操作感知，同时鼓励学生举例来验证，最终能自主地获得并确认该定理的结论。对于定理的条件和结论，学生往往考虑不够深入，需要教师通过具体的问题，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视。

　　3.函数的零点，体现了函数与方程之间的密切联系，教学中应遵循高中数学以函数为主线的这一原则进行联结，侧重在从函数的角度看方程，同时为二分法求方程的'近似解作知识和思想上的准备。

　　四、教学过程设计

　　(一)创设情景，揭示课题

　　函数是中学数学的核心内容，它不仅在生活中有着大量的应用，与其他数学知识有着千丝万缕的联系，若能抓住这一联系，你就拥有了一把解决问题的金钥匙。

　　案例1：周长为定值的矩形

　　不妨取l=12

　　问题1：求其面积的值：

　　显然面积是一个关于x的一个二次多项式

　　，用几何画板演示矩形的变化：

　　问题2：求矩形面积的最大值?

　　当x取不同值时，代数式的值也相应随之变化，你能从函数的角度审视其中的关系吗?

　　问题3：能否使得矩形的面积为8?你是如何分析的?

　　(1)实验演示的角度进行估计，拖动时难以恰好出现面积为8的情况;

　　(2)解方程：x(6-x)=8

　　(3)方程x(6-x)=8能否从函数的角度来进行描述?

　　问题4：

　　一般地，对于一般的二次三项式，二次方程与二次函数，它们之间有何联系?

　　结论：

　　代数式的值就是相应的函数值;

　　方程的根就是使相应函数值为0的x的值。

　　更一般地

　　方程f(x)=0的根，就是使函数值y=f(x)的函数值为0的x值，从函数的角度我们称之为零点。

　　设计意图:本节课是函数应用的第一课，有必要让学生对函数的应用有所了解。从具体的问题出发,揭示函数与代数式、方程之间的内在联系，并从学生所熟悉的具体的二次函数，推广到一般的二次函数，再进一步推广到一般的函数。

　　(二) 互动交流研讨新知

　　1.函数零点的概念：

　　对于函数

　　，把使

　　成立的实数

　　叫做函数

　　的零点.

　　2.对零点概念的理解

　　案例2：观察图象

　　问题1：此图象是否能表示函数?

　　问题2：你能从中分析函数有哪些零点吗?

　　问题3：从函数图象的角度，你能对函数的零点换一种说法吗?

　　结论：函数

　　的零点就是方程

　　实数根，亦即函数

　　的图象与

　　轴交点的横坐标.即：

　　方程

　　有实数根

　　函数

　　的图象与

　　轴有交点

　　函数

　　有零点.

　　设计意图：进一步掌握函数的核心概念，同时通过图象进行一步完善对函数零点的全面理解，为下面借助图象探究零点存在性定理作好一定的铺垫。

　　2.零点存在定理的探究

　　案例3：下表是三次函数

　　的部分对应值表：

　　问题1：你能从表中找出函数的零点吗?

　　问题2：结合图象与表格，你能发现此函数零点的附近函数值有何特点?

　　生：两边的函数值异号!

　　问题3：如果一个函数f(x)满足f(a)f(b)<0,在区间(a,b)上是否一定存在着函数的零点?

　　注意:函数在区间上必须是连续的(图象能一笔画),从而引出零点存在性定理.

　　问题4: 有位同学画了一个图,认为定理不一定成立,你的看法呢?

　　问题5:你能改变定理的条件或结论,得到一些新的命题吗?

　　如1:加强定理的结论:若在区间[a，b]上连续函数f(x)满足f(a)f(b)<0,是否意味着函数f(x)在[a,b]上恰有一个零点?

　　如2.将定理反过来:若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点,是否一定有f(a)f(b)<0?

　　如3:一般化:一个函数的零点是否都可由上述的定理进行判断?(反例:同号零点,如案例2中的零点-2)

　　设计意图：通过表格，是为了进一步巩固对函数这一概念的全面认识，并为观察零点存在性定理中函数值的异号埋下伏笔。通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容，而鼓励学生提问，是培养学生学习主动性和创造能力必要的过程。

　　(三)巩固深化，发展思维

　　例1、求函数f(x)=㏑x+2x -6的零点个数。

　　设计问题：

　　(1)你可以想到什么方法来判断函数零点?

　　(2)你是如何来确定零点所在的区间的?请各自选择。

　　(3)零点是唯一的吗?为什么?

　　设计意图：对所学内容巩固，可以借助<几何画板>画出函数f(x)的图象观察,也可借助列出函数值表观察。

　　本题可以使学生意识对零点的区间是不唯一的，为下一节二分法求方程的近似解奠定基础。

　　让学生进一步领悟，零点的唯一性需要借助函数的单调性。

　　(四)归纳整理，整体认识

　　请回顾本节课所学知识内容有哪些?

　　所涉及到的主要数学思想又有哪些?

　　你还获得了什么?

　　(五)作业(略)

《方程的根与函数的零点》教学设计4

　　一、背景分析

　　1、学习任务分析

　　函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在新课程教学中有着不可替代的重要位置.为什么要引进函数的零点?原因是要用函数的观点统帅中学数学,把解方程问题纳入到函数问题中.引入函数的零点,解方程的问题就变成了求函数的零点问题.

　　就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的`思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。

　　2、学生情况分析

　　学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质,理解了函数图象与性质之间的关系,尤其熟悉二次函数,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数的零点提供了直观认识,并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持;学生有一定的方程知识的基础,熟悉从特殊到一般的归纳方法,这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据.但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程，发现函数零点的存在性事造成了一定的难度。又加上函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。因此教学中尽可能提供学生动手实践的机会，让学生亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的概念；在函数零点存在性的判定方法的教学时

　　应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维引导学生通过观察、计算、作图、思考理解问题的本质。

　　二、教学目标设计

　　1、结合《课程标准》对本节的要求，制定本节课的教学目标为：

　　（1）、以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系.

　　（2）、掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。

　　（3）、让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。

　　2、教学重点难点设计

　　重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。

　　三、教学媒体设计

　　根据本节课的教学任务以及学生学习的需要，教学媒体设计如下：

　　1、多媒体辅助教学

　　在对某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法的探究过程中，利用小马过河的形象实例把抽象的判定定理还原到具体的可观察可操作的层面上来，弱化纯粹的逻辑推理，把“数”转化到了“形”.