高中数学教案精选15篇

　　作为一位杰出的老师，就难以避免地要准备教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编为大家整理的高中数学教案，希望对大家有所帮助。

高中数学教案精选15篇

高中数学教案1

　　教学目标：

　　1．结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性；

　　2．学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；

　　3．并对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系．

　　教学重点：

　　通过实例理解分层抽样的方法．

　　教学难点：

　　分层抽样的步骤．

　　教学过程：

　　一、问题情境

　　1．复习简单随机抽样、系统抽样的概念、特征以及适用范围．

　　2．实例：某校高一、高二和高三年级分别有学生名，为了了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为的样本，怎样抽取较为合理？

　　二、学生活动

　　能否用简单随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？

　　指出由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，用简单随机抽样或系统抽样进行抽样不能准确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要注意总体中个体的层次性．

　　由于样本的容量与总体的个体数的比为100∶2500＝1∶25，

　　所以在各年级抽取的个体数依次是，，，即40，32，28．

　　三、建构数学

　　1．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”．

　　说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的.可能性都是相等的；

　　②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．

　　2．三种抽样方法对照表：

　　类别

　　共同点

　　各自特点

　　相互联系

　　适用范围

　　简单随机抽样

　　抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的

　　从总体中逐个抽取

　　总体中的个体数较少

　　系统抽样

　　将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取

　　在第一部分抽样时采用简单随机抽样

　　总体中的个体数较多

　　分层抽样

　　将总体分成几层，分层进行抽取

　　各层抽样时采用简单随机抽样或系统

　　总体由差异明显的几部分组成

　　3．分层抽样的步骤：

　　（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分．

　　（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比．

　　（3）确定各层应抽取的样本容量．

　　（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．

　　四、数学运用

　　1．例题．

　　例1（1）分层抽样中，在每一层进行抽样可用_________________．

　　（2）①教育局督学组到学校检查工作，临时在每个班各抽调2人参加座谈；

　　②某班期中考试有15人在85分以上，40人在60-84分，1人不及格．现欲从中抽出8人研讨进一步改进教和学；

　　③某班元旦聚会，要产生两名“幸运者”．

　　对这三件事，合适的抽样方法为（）

　　A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样

　　B．系统抽样，系统抽样,简单随机抽样

　　C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样

　　D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样

　　例2某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如表中所示：

　　很喜爱

　　喜爱

　　一般

　　不喜爱

　　2435

　　4567

　　3926

　　1072

　　电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？

　　解：抽取人数与总的比是60∶12000＝1∶200，

　　则各层抽取的人数依次是12.175，22.835，19.63，5.36，

　　取近似值得各层人数分别是12，23，20，5．

　　然后在各层用简单随机抽样方法抽取．

　　答用分层抽样的方法抽取，抽取“很喜爱”、“喜爱”、“一般”、“不喜爱”的人

　　数分别为12，23，20，5．

　　说明：各层的抽取数之和应等于样本容量，对于不能取整数的情况，取其近似值．

　　（3）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的某意见，拟抽取一个容量为20的样本．

　　分析：（1）总体容量较小，用抽签法或随机数表法都很方便．

　　（2）总体容量较大，用抽签法或随机数表法都比较麻烦，由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样．

　　（3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，所以应采用分层抽样方法．

　　五、要点归纳与方法小结

　　本节课学习了以下内容：

　　1．分层抽样的概念与特征；

　　2．三种抽样方法相互之间的区别与联系．

高中数学教案2

　　教学准备

　　教学目标

　　熟悉两角和与差的正、余公式的推导过程，提高逻辑推理能力。

　　掌握两角和与差的.正、余弦公式，能用公式解决相关问题。

　　教学重难点

　　熟练两角和与差的正、余弦公式的正用、逆用和变用技巧。

　　教学过程

　　复习

　　两角差的余弦公式

　　用- B代替B看看有什么结果?

高中数学教案3

　　高中数学趣味竞赛题（共10题）

　　1 、撒谎的有几人

　　5个高中生有，她们面对学校的新闻采访说了如下的话：

　　爱：“我还没有谈过恋爱。” 静香：“爱撒谎了。”

　　玛丽：“我曾经去过昆明。” 惠美：“玛丽在撒谎。”

　　千叶子：“玛丽和惠美都在撒谎。” 那么，这5个人之中到底有几个人在撒谎呢？

　　2、她们到底是谁

　　有天使、恶魔、人三者，天使时刻都说真话，恶魔时时刻刻都说假话，人呢，有时候说真话，有时候说假话。

　　穿黑色衣服的女子说：“我不是天使。” 穿蓝色衣服的女子说：“我不是人。” 穿白色衣服的女子说：“我不是恶魔。”那么，这三人到底分别是谁呢？

　　3、半只小猫

　　听说祖父家的波斯猫生了好多小猫，喜欢猫的.我兴高采烈地来到祖父家。可是，只剩下1只小猫了。

　　“一共生了几只小猫呀？” “猜猜看，要是猜中了，就把剩下的这只小猫给你。附近的宠物店听说以后，马上来买走了所有小猫的一半和半只。” “半只？”“是啊，然后，邻居家的老奶奶无论如何都要，所以就把剩下的一半和另外半只给了她。这就是只剩下1只小猫的原因。那么你想想看，一共生了几只小猫呢？

　　4、被虫子吃掉的算式

　　一只爱吃墨水的虫子把下图的算式中的数字全部吃掉了。当然，没有数字的部分它没有吃（因为没有墨水）。

　　那么，请问原来的算式是什么样子的呢？

　　5、巧动火柴

　　用16根火柴摆成5个正方形。请移动2根火柴，

　　使

　　正形变成4。

　　6、折过来的角

　　把正三角形的纸如图那样折过来时，角？的度数是多少度？

　　7、星形角之和

　　求星形尖端的角度之和。

　　8、啊！双胞胎？

　　丈夫临死前，给有身孕的妻子留下遗言说，生的是男孩就给他财产的 2/3 、如果生的是女孩就给他财产的 2/5 、剩下的给妻子。

　　结果，生出来的是孪生兄妹——双胞胎。这可难坏了妻子，3个人怎么分财产好呢？

　　9、赠送和降价哪个更好？

　　1罐100元的咖啡，“买5罐送1罐”和“买5罐便宜20%”这两种促销方法哪一种好呢？还是两种方法一样好？

　　10、折成15度

　　用折纸做成45度很简单是吧。那么，请折成15度，你会吗？

高中数学教案4

　　一、预习目标

　　预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

　　二、预习内容

　　阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：

　　1、例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？

　　2、利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？

　　3、例3中，

　　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

　　⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

　　三、提出疑惑

　　同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容。

　　课内探究学案

　　一、学习内容

　　1、运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题。

　　2、运用向量的有关知识解决简单的物理问题。

　　二、学习过程

　　探究一：

　　（1）向量运算与几何中的结论"若，则，且所在直线平行或重合"相类比，你有什么体会？

　　（2）举出几个具有线性运算的几何实例。

　　例1、证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。

　　已知：平行四边形ABCD。

　　求证：

　　试用几何方法解决这个问题，利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？

　　（1）建立平面几何与向量的联系，

　　（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

　　（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

　　例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

　　探究二：两个人提一个旅行包，夹角越大越费力。在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力。这些力的问题是怎么回事？

　　例3，在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的'夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？

　　请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

　　⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？

　　⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？

　　例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精确到0。1min）？

　　变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s；（2）计算s在方向上的投影。

　　三、反思总结

　　结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题。

　　代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

　　本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

高中数学教案5

　　教学目的：掌握圆的标准方程，并能解决与之有关的问题

　　教学重点：圆的标准方程及有关运用

　　教学难点：标准方程的灵活运用

　　教学过程：

　　一、导入新课，探究标准方程

　　二、掌握知识，巩固练习

　　练习：⒈说出下列圆的方程

　　⑴圆心（3，-2）半径为5⑵圆心（0，3）半径为3

　　⒉指出下列圆的圆心和半径

　　⑴（x-2）2+(y+3)2=3

　　⑵x2+y2=2

　　⑶x2+y2-6x+4y+12=0

　　⒊判断3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置关系

　　⒋圆心为（1，3），并与3x-4y-7=0相切，求这个圆的方程

　　三、引伸提高，讲解例题

　　例1、圆心在y=-2x上，过p(2，-1)且与x-y=1相切求圆的方程（突出待定系数的数学方法）

　　练习：1、某圆过(-2，1)、(2，3)，圆心在x轴上，求其方程。

　　2、某圆过A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圆的.方程。

　　例2：某圆拱桥的跨度为20米，拱高为4米，在建造时每隔4米加一个支柱支撑，求A2P2的长度。

　　例3、点M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求过M的圆的切线方程(一题多解，训练思维)

　　四、小结练习P771，2，3，4

　　五、作业P811，2，3，4

高中数学教案6

　　【教学目标】

　　1.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

　　2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

　　3.提高学生的观察能力；培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

　　【教学重难点】

　　教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

　　教学难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

　　【教学过程】

　　1.情景导入

　　教师提出问题，引导学生观察、举例和相互交流，提出本节课所学内容，出示课题。

　　2.展示目标、检查预习

　　3、合作探究、交流展示

　　（1）引导学生观察棱柱的几何物体以及棱柱的图片，说出它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？

　　（2）组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

　　（3）提出问题：请列举身边的棱柱并对它们进行分类

　　（4）以类似的`方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

　　（5）让学生观察圆柱，并实物模型演示，概括出圆柱的概念以及相关的概念及圆柱的表示。

　　（6）引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。

　　（7）教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。

　　4．质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

　　（1）有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明）

　　（2）棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

　　（3）圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

　　（4）棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

　　（5）绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？

　　5、典型例题

　　例1：判断下列语句是否正确。

　　⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。

　　⑵有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱柱。

　　答案 A B

　　6、课堂检测：

　　课本P8，习题1.1 A组第1题。

　　7.归纳整理

　　由学生整理学习了哪些内容

　　【板书设计】

　　一、柱、锥、台、球的结构

　　二、例题

　　例1

　　变式1、2

　　【作业布置】

　　导学案课后练习与提高

　　1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

　　课前预习学案

　　一、预习目标：

　　通过图形探究柱、锥、台、球的结构特征

　　二、预习内容：

　　阅读教材第2—6页内容，然后填空

　　（1）多面体的概念：叫多面体，

　　叫多面体的面，叫多面体的棱，

　　叫多面体的顶点。

　　① 棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱

　　②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥

　　③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，，叫作棱台。

　　（2）旋转体的概念：叫旋转体，叫旋转体的轴。

　　①圆柱：所围成的几何体叫做圆柱

　　②圆锥：所围成的几何

　　体叫做圆锥

　　③圆台：的部分叫圆台

　　. ④球的定义

　　思考：

　　（1）试分析多面体与旋转体有何去别

　　（2）球面球体有何去别

　　（3）圆与球有何去别

　　三、提出疑惑

　　同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

　　疑惑点疑惑内容

高中数学教案7

　　教学目标

　　（1）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；

　　（2）了解线性规化问题的图解法；

　　（3）培养学生搜集、分析和整理信息的能力，在活动中学会沟通与合作，培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力；

　　（4）引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．

　　教学建议

　　一、重点难点分析

　　学以致用，培养学生“用数学 ”的意识是本节的重要目的。学习线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决一些生产、生活中问题，因而本节的教学重点是：线性规划在实际生活中的应用。困难大多是如何把实际问题转化为数学问题（既数学建模），所以把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题，就是本节课的教学难点。突破这个难点的关键就在于尽快熟悉生活，了解实际情况，并与所学知识紧密结合起来。

　　二、教法建议

　　（l）建议可适当采用电脑多媒体和投影仪等先进手段来辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率．

　　（2）课堂上可以设计几个实际让学生分组研讨解答，一方面是复习线性规划问题的一般解法，为总结线性规划问题的数学模型和常见类型作铺垫；另一方面，也为接下来到外面分组调研积累经验，让学生在讨论、探究过程中初步学会沟通与合作，共同完成活动任务．

　　（3）确定研究课题，建议各小组以三个常见问题为主，或者根据本小组实际自拟课题．

　　（4）活动安排，建议要求各小组分式明确，团结协作，听从指挥，注意安全．学生研究活动的.成果，可以用研究报告或论文的形式体现．一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不能越俎代庖．

　　（5）对学生在课余时间开展的研究性课题，建议作做好成果展示、评估和交流．展示不仅可以让全体学生来分享成果，享受成功的喜悦，而且还可以锻炼学生的组织表达能力，增强学生的自信心．通过评估，可以使同学清楚地看到自己的优点与不足．通过交流研讨，分享成果，进行思维碰撞，使认识和情感得到提升．

高中数学教案8

　　教学目标：

　　(1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;

　　(2)了解全集、空集的意义。

　　(3)掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力;

　　(4)会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集;

　　(5)能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想;

　　(6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力。

　　教学重点：

　　子集、补集的概念

　　教学难点：

　　弄清元素与子集、属于与包含之间的区别

　　教学用具：

　　幻灯机

　　教学过程设计

　　(一)导入新课

　　上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识。

　　【提出问题】(投影打出)

　　已知xx，xx，xx，问：

　　1、哪些集合表示方法是列举法。

　　2、哪些集合表示方法是描述法。

　　3、将集M、集从集P用图示法表示。

　　4、分别说出各集合中的元素。

　　5、将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来、将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来。

　　6、集M中元素与集N有何关系、集M中元素与集P有何关系。

　　【找学生回答】

　　1、集合M和集合N;(口答)

　　2、集合P;(口答)

　　3、(笔练结合板演)

　　4、集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1、(口答)

　　5、xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx，xx(笔练结合板演)

　　6、集M中任何元素都是集N的元素、集M中任何元素都是集P的元素、(口答)

　　【引入】在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题、

　　(二)新授知识

　　1、子集

　　(1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

　　记作：xx读作：A包含于B或B包含A

　　当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：AxxB或BxxA、

　　性质：①xx(任何一个集合是它本身的子集)

　　②xx(空集是任何集合的子集)

　　【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?

　　【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合。

　　因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素、由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的.。

　　(2)集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

　　例：xx，可见，集合xx，是指A、B的所有元素完全相同。

　　(3)真子集：对于两个集合A与B，如果xx，并且xx，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：xx(或xx)，读作A真包含于B或B真包含A。

　　【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。”

　　集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B。

　　【提问】

　　(1)xx写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。

　　(2)xx判断下列写法是否正确

　　①xxAxx②xxAxx③xx④AxxA

　　性质：

　　(1)空集是任何非空集合的真子集。若xxAxx，且A≠xx，则xxA;

　　(2)如果xx，xx，则xx。

　　例1xx写出集合xx的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集、

　　解：集合xx的所有的子集是xx，xx，xx，xx，其中xx，xx，xx是xx的真子集。

　　【注意】(1)子集与真子集符号的方向。

　　(2)易混符号

　　①“xx”与“xx”：元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如xxR，{1}xx{1，2，3}

　　②{0}与xx：{0}是含有一个元素0的集合，xx是不含任何元素的集合。

　　如：xx{0}。不能写成xx={0}，xx∈{0}

　　例2xx见教材P8(解略)

　　例3xx判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正、

　　(1)xx表示空集;

　　(2)空集是任何集合的真子集;

　　(3)xx不是xx;

　　(4)xx的所有子集是xx;

　　(5)如果xx且xx，那么B必是A的真子集;

　　(6)xx与xx不能同时成立、

　　解：(1)xx不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以(1)不正确;

　　(2)不正确、空集是任何非空集合的真子集;

　　(3)不正确、xx与xx表示同一集合;

　　(4)不正确、xx的所有子集是xx;

　　(5)正确

　　(6)不正确、当xx时，xx与xx能同时成立、

　　例4xx用适当的符号(xx，xx)填空：

　　(1)xx;xx;xx;

　　(2)xx;xx;

　　(3)xx;

　　(4)设xx，xx，xx，则AxxBxxC、

　　解：(1)0xx0xx;

　　(2)xx=xx，xx;

　　(3)xx，xx∴xx;

　　(4)A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A=B=C、

　　【练习】教材P9

　　用适当的符号(xx，xx)填空：

　　(1)xx;xx(5)xx;

　　(2)xx;xx(6)xx;

　　(3)xx;xx(7)xx;

　　(4)xx;xx(8)xx、

　　解：(1)xx;(2)xx;(3)xx;(4)xx;(5)=;(6)xx;(7)xx;(8)xx、

　　提问：见教材P9例子

　　(二)xx全集与补集

　　1、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即xx)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作xx，即

　　、

　　A在S中的补集xx可用右图中阴影部分表示、

　　性质：xxS(xxSA)=A

　　如：(1)若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则xxSA={2，4，6};

　　(2)若A={0}，则xxNA=N;

　　(3)xxRQ是无理数集。

　　2、全集：

　　如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用xx表示。

　　注：xx是对于给定的全集xx而言的，当全集不同时，补集也会不同。

　　例如：若xx，当xx时，xx;当xx时，则xx。

　　例5xx设全集xx，xx，xx，判断xx与xx之间的关系。

　　解：

　　练习：见教材P10练习

　　1、填空：

　　xx，xx，那么xx，xx。

　　解：xx，

　　2、填空：

　　(1)如果全集xx，那么N的补集xx;

　　(2)如果全集，xx，那么xx的补集xx(xx)=xx、

　　解：(1)xx;(2)xx。

　　(三)小结：本节课学习了以下内容：

　　1、五个概念(子集、集合相等、真子集、补集、全集，其中子集、补集为重点)

　　2、五条性质

　　(1)空集是任何集合的子集。ΦxxA

　　(2)空集是任何非空集合的真子集。ΦxxAxx(A≠Φ)

　　(3)任何一个集合是它本身的子集。

　　(4)如果xx，xx，则xx、

　　(5)xxS(xxSA)=A

　　3、两组易混符号：(1)“xx”与“xx”：(2){0}与

　　(四)课后作业：见教材P10习题1、2

高中数学教案9

　　=425a0b0=425.

　　点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数。

　　(3)5-26+7-43-6-42

　　=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

　　=3-2+2-3-2+2=0.

　　点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用。

　　例3已知，n∈正整数集，求(x+1+x2)n的值。

　　活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，与具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题提供了思路，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示。

　　= 。

　　这时应看到1+x2=，

　　这样先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。

　　解：将代入1+x2，得1+x2=，

　　所以(x+1+x2)n=

　　= =5.

　　点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法。

　　知能训练

　　课本习题2.1A组3.

　　利用投影仪投射下列补充练习：

　　1、化简：的结果是（）

　　A. B.

　　C. D.

　　解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的.变形。

　　因为，所以原式的分子分母同乘以。

　　依次类推，所以。

　　答案：A

　　2、计算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4.

　　解：原式=

　　=53+100+916-3+13+716=100.

　　3、计算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。

　　解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。

　　本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习。

　　4、设a>0，，则(x+1+x2)n的值为__________.

　　解析：1+x2= 。

　　这样先算出1+x2，再算出1+x2，

　　将代入1+x2，得1+x2= 。

　　所以(x+1+x2)n=

　　= =a.

　　答案：a

　　拓展提升

　　参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂的意义。

　　活动：教师引导学生回顾无理数指数幂的意义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果。

　　解：3=1.732 050 80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表。

　　3的过剩近似值

　　的过剩近似值

　　3的不足近似值

　　的不足近似值

　　1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585

　　1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183

　　1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342

　　1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849

　　1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2

　　1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923

　　1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838

　　1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045

　　… … … …

　　我们把用2作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数

　　21.7,21.72,21.731,21.731 9，…，

　　同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：

　　21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为，

　　即21.7<21.73<21.731<21.731 9<…< <…<21.732 1<21.733<21.74<21.8.

　　也就是说是一个实数，=3.321 997 …也可以这样解释：

　　当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，23的近似值从大于的方向逼近；

　　当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，23的近似值从小于的方向逼近。

　　所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述规律变化的结果，即≈3.321 997.

　　课堂小结

　　（1）无理指数幂的意义。

　　一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

　　（2）实数指数幂的运算性质：

　　对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　　（3）逼近的思想，体会无限接近的含义。

　　作业

　　课本习题2.1 B组2.

　　设计感想

　　无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多作练习，提高学生理解问题、分析问题的能力。

　　备课资料

　　【备用习题】

　　1、以下各式中成立且结果为最简根式的是（）

　　A.a?5a3a?10a7=10a4

　　B.3xy2(xy)2=y?3x2

　　C.a2bb3aab3=8a7b15

　　D.(35-125)3=5+125125-235?125

　　答案：B

　　2、对于a>0，r，s∈Q，以下运算中正确的是（）

　　A.ar?as=ars B.(ar)s=ars

　　C.abr=ar?bs D.arbs=(ab)r+s

　　答案：B

　　3、式子x-2x-1=x-2x-1成立当且仅当（）

　　A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2

　　解析：方法一：

　　要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.

　　若x≥2，则式子x-2x-1=x-2x-1成立。

　　故选D.

　　方法二：

　　对A，式子x-2x-1≥0连式子成立也保证不了，尤其x-2≤0，x-1<0时式子不成立。

　　对B，x-1<0时式子不成立。

　　对C，x<1时x-1无意义。

　　对D正确。

　　答案：D

　　4、化简b-(2b-1)(1

　　解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1

　　5、计算32+5+32-5.

　　解：令x=32+5+32-5，

　　两边立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

　　∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1.

　　∴32+5+32-5=1.

高中数学教案10

　　整体设计

　　教学分析

　　我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

　　教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。

　　本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

　　根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

　　三维目标

　　1、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

　　2、掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

　　3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

　　4、通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。

　　重点难点

　　教学重点

　　（1）分数指数幂和根式概念的理解。

　　（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质。

　　（3）运用有理指数幂的性质进行化简、求值。

　　教学难点

　　（1）分数指数幂及根式概念的理解。

　　（2）有理指数幂性质的灵活应用。

　　课时安排

　　3课时

　　教学过程

　　第1课时

　　作者：路致芳

　　导入新课

　　思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？（考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚）考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

　　（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？

　　（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

　　（4）可否用一个式子表达呢？

　　活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。

　　讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.

　　（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。

　　（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。

　　（4）用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根。

　　教师板书n次方根的意义：

　　一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整数集。

　　可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

　　提出问题

　　（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。

　　①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。

　　（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？

　　（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

　　（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？

　　活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

　　讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　　（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

　　（3）一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.

　　（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

　　类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：

　　①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。

　　上面的文字语言可用下面的式子表示：

　　a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.

　　a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。

　　零的n次方根为零，记为n0=0.

　　可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

　　思考

　　根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？

　　活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。

　　解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。

　　如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？

　　活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。

　　〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。

　　解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.

　　通过探究得到：n为奇数，nan=a.

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我们得到n次方根的运算性质：

　　①(na)n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。

　　②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。

　　n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值。

　　应用示例

　　思路1

　　例求下列各式的值：

　　（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。

　　活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数。

　　解：(1)3(-8)3=-8;

　　（2）(-10)2=10;

　　（3)4(3-π）4=π-3;

　　（4）(a-b)2=a-b(a>b)。

　　点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。

　　变式训练

　　求出下列各式的值：

　　(1)7(-2)7;

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)；

　　(3)4(3a-3)4.

　　解：(1)7(-2)7=-2，

　　(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，

　　(3)4(3a-3)4=

　　点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解。

　　思路2

　　例1下列各式中正确的是（）

　　A.4a4=a

　　B.6(-2)2=3-2

　　C.a0=1

　　D.10(2-1)5=2-1

　　活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答。

　　解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。

　　(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。

　　(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。

　　(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确。所以答案选D.

　　答案：D

　　点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心。

　　例2 3+22+3-22=__________.

　　活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路。

　　解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，

　　3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，

　　所以3+22+3-22=22.

　　答案：22

　　点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。

　　思考

　　上面的例2还有别的解法吗？

　　活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。

　　另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，

　　两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.

　　点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。

　　变式训练

　　若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。

　　解：因为a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，

　　即a-1≥0，

　　所以a≥1.

　　点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键。

　　知能训练

　　（教师用多媒体显示在屏幕上）

　　1、以下说法正确的是（）

　　A.正数的n次方根是一个正数

　　B.负数的n次方根是一个负数

　　C.0的n次方根是零

　　D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整数集）

　　答案：C

　　2、化简下列各式：

　　(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

　　答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

　　3、计算7+40+7-40=__________.

　　解析：7+40+7-40

　　=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

　　=(5+2)2+(5-2)2

　　=5+2+5-2

　　=25.

　　答案：25

　　拓展提升

　　问题：nan=a与(na)n=a(n>1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。

　　活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

　　通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。

　　解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。

　　如果xn=a(n>1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。

　　例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.

　　(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数。

　　当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。

　　例如：525=2，5(-2)5=-2.

　　当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，

　　即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有条件的。

　　点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

　　课堂小结

　　学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上。

　　1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。

　　（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

　　(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。

　　（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

　　2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　作业

　　课本习题2.1A组1.

　　补充作业：

　　1、化简下列各式：

　　(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

　　解：(1)681=634=332=39;

　　(2)15-32=-1525=-32;

　　(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.

　　2、若5

　　解析：因为5

　　答案：2a-13

　　3.5+26+5-26=__________.

　　解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，

　　不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

　　同理5-26=(3-2)2=3-2.

　　所以5+26+5-26=23.

　　答案：23

　　设计感想

　　学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a=0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学。

　　第2课时

　　作者：郝云静

　　导入新课

　　思路1.碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的。这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）整数指数幂的运算性质是什么？

　　（2）观察以下式子，并总结出规律：a>0，

　　①；

　　②a8=(a4)2=a4=，；

　　③4a12=4(a3)4=a3=；

　　④2a10=2(a5)2=a5= 。

　　（3）利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？

　　，，，(x>0，m，n∈正整数集，且n>1)。

　　（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

　　（5）你能推广到一般的情形吗？

　　活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。

　　讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；

　　a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

　　（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。

　　根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。

　　（3）利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm= 。

　　(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。

　　结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。

　　（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：

　　规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。

　　提出问题

　　（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？

　　（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？

　　（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？

　　（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

　　（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a>0，去掉这个规定会产生什么样的后果？

　　（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

　　活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a>0的必要性，教师及时作出评价。

　　讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。

　　（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。

　　规定：正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。

　　（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（4）教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：

　　正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（5）若没有a>0这个条件会怎样呢？

　　如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a>0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。

　　（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。

　　应用示例

　　例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。

　　活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来。

　　解：(1) =22=4;

　　（2）=5-1=15;

　　(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

　　（4）=23-3=278.

　　点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如=382=364=4.

　　例2用分数指数幂的形式表示下列各式。

　　a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

　　活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。

　　解：a3?a=a3? =；

　　a2?3a2=a2? =；

　　a3a= 。

　　点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。

　　例3计算下列各式（式中字母都是正数）。

　　（1）；

　　（2）。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。

　　解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

　　（2）=m2n-3=m2n3.

　　点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。

　　本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。

　　变式训练

　　求值：(1)33?33?63;

　　(2)627m3125n64.

　　解：(1)33?33?63= =32=9;

　　(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

　　例4计算下列各式：

　　（1）(325-125)÷425;

　　(2)a2a?3a2(a>0)。

　　活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。

　　解：(1)原式=

　　= =65-5;

　　(2)a2a?3a2= =6a5.

　　知能训练

　　课本本节练习1,2,3

　　【补充练习】

　　教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。

　　1、(1)下列运算中，正确的是（）

　　A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

　　C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

　　（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意义的是（）

　　A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

　　（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）

　　A.a B.a2 C.a3 D.a4

　　（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为（）

　　A. B.

　　C. D.

　　（5）化简的结果是（）

　　A.6a B.-a C.-9a D.9a

　　2、计算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

　　（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.

　　3、已知x+y=12，xy=9且x

　　答案：1.(1)D　(2)B　(3)B　(4)A　(5)C　2.(1)19　(2)8

　　3、解：。

　　因为x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

　　又因为x

　　所以原式= =12-6-63=-33.

　　拓展提升

　　1、化简：。

　　活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：

　　x-1= -13=；

　　x+1= +13=；

　　。

　　构建解题思路教师适时启发提示。

　　解：

　　= 。

　　点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，

　　=a-b，

　　=a± +b，

　　=a±b.

　　2、已知，探究下列各式的值的求法。

　　(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。

　　解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7;

　　（2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47;

　　（3）由于，

　　所以有=a+a-1+1=8.

　　点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。

　　课堂小结

　　活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：

　　（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。

　　（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

　　（3）有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。

　　（4）说明两点：

　　①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。

　　②整数指数幂的`运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算。

　　作业

　　课本习题2.1A组2,4.

　　设计感想

　　本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。

　　第3课时

　　作者：郑芳鸣

　　导入新课

　　思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。

　　思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题。

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　（1）我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？

　　（2）多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？

　　2的过剩近似值

　　的近似值

　　1.5 11.180 339 89

　　1.42 9.829 635 328

　　1.415 9.750 851 808

　　1.414 3 9.739 872 62

　　1.414 22 9.738 618 643

　　1.414 214 9.738 524 602

　　1.414 213 6 9.738 518 332

　　1.414 213 57 9.738 517 862

　　1.414 213 563 9.738 517 752

　　… …

　　的近似值

　　2的不足近似值

　　9.518 269 694 1.4

　　9.672 669 973 1.41

　　9.735 171 039 1.414

　　9.738 305 174 1.414 2

　　9.738 461 907 1.414 21

　　9.738 508 928 1.414 213

　　9.738 516 765 1.414 213 5

　　9.738 517 705 1.414 213 56

　　9.738 517 736 1.414 213 562

　　… …

　　（3）你能给上述思想起个名字吗？

　　（4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？

　　（5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？

　　活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：

　　问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。

　　问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联。

　　问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。

　　问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。

　　问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。

　　讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。

　　（2）第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。

　　第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。

　　从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.

　　充分表明是一个实数。

　　（3）逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识。

　　（4）根据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。

　　（5）无理数指数幂的意义：

　　一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

　　也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。

　　提出问题

　　（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？

　　（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？

　　（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？

　　活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳。

　　对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。

　　对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。

　　对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。

　　讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。

　　（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：

　　①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是无理数）。

　　②（ar)s=ars(a>0，r，s都是无理数）。

　　③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是无理数）。

　　（3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。

　　实数指数幂的运算性质：

　　对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：

　　①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

　　②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

　　③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

　　应用示例

　　例1利用函数计算器计算。（精确到0.001）

　　(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。

　　活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值；

　　对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可；

　　对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可；

　　对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。

　　学生可以相互交流，挖掘计算器的用途。

　　解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.

　　点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。

　　例2求值或化简。

　　(1)a-4b23ab2(a>0，b>0)；

　　（2）(a>0，b>0)；

　　(3)5-26+7-43-6-42.

　　活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。

　　解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。

　　点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示。

高中数学教案11

　　第一章：空间几何体

　　1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

　　（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

　　（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

　　（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

　　2．过程与方法

　　（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

　　（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

　　（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

　　二、教学重点、难点

　　重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

　　难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

　　三、教学用具

　　（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

　　（2）实物模型、投影仪

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。

　　2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。

　　（二）、研探新知

　　1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。

　　2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？

　　3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。

　　4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。

　　5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

　　6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。

　　7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。

　　8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。

　　9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。

　　10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？

　　（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

　　1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）

　　2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？

　　3．课本P8，习题1.1A组第1题。

　　4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？

　　5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？

　　四、巩固深化

　　练习：课本P7练习1、2（1）（2）

　　课本P8习题1.1第2、3、4题

　　五、归纳整理

　　由学生整理学习了哪些内容

　　六、布置作业

　　课本P8练习题1.1B组第1题

　　课外练习课本P8习题1.1B组第2题

　　1.2.1空间几何体的三视图（1课时）

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）掌握画三视图的基本技能

　　（2）丰富学生的空间想象力

　　2．过程与方法

　　主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）提高学生空间想象力

　　（2）体会三视图的作用

　　二、教学重点、难点

　　重点：画出简单组合体的三视图

　　难点：识别三视图所表示的空间几何体

　　三、学法与教学用具

　　1．学法：观察、动手实践、讨论、类比

　　2．教学用具：实物模型、三角板

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭开课题

　　“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

　　在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？

　　（二）实践动手作图

　　1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;

　　2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图

　　（1）画出球放在长方体上的三视图

　　（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图

　　学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。

　　作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。

　　3．三视图与几何体之间的相互转化。

　　（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）

　　请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？

　　（2）你能画出圆台的三视图吗？

　　（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？

　　教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。

　　4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。

　　（三）巩固练习

　　课本P12练习1、2P18习题1.2A组1

　　（四）归纳整理

　　请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图

　　（五）课外练习

　　1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的.三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。

　　2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。

　　1.2.2空间几何体的直观图（1课时）

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

　　（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

　　2．过程与方法

　　学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

　　3．情感态度与价值观

　　（1）提高空间想象力与直观感受。

　　（2）体会对比在学习中的作用。

　　（3）感受几何作图在生产活动中的应用。

　　二、教学重点、难点

　　重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

　　三、学法与教学用具

　　1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。

　　2．教学用具：三角板、圆规

　　四、教学思路

　　（一）创设情景，揭示课题

　　1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱

　　把实物圆柱放在讲台上让学生画。

　　2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

　　（二）研探新知

　　1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

　　画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

　　练习反馈

　　根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。

　　2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

　　教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。

　　教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。

　　3．探求空间几何体的直观图的画法

　　（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。

　　教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。

　　（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

　　4．平行投影与中心投影

　　投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。

　　5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4

　　三、归纳整理

　　学生回顾斜二测画法的关键与步骤

　　四、作业

　　1．书画作业，课本P17练习第5题

　　2．课外思考课本P16，探究（1）（2）

高中数学教案12

　　1. 该生能以校规班规严格要求自己。有较强的集体荣誉感，学习态度认真，能吃苦，肯下功夫，成绩稳定。生活艰苦朴素，待人热情大方，是个基础扎实，品德兼优的好学生。

　　2. 该生能严格遵守学校的规章制度。尊敬师长，团结同学。热爱集体，积极配合其他同学搞好班务工作，劳动积极肯干。学习刻苦认真，勤学好问，学习成绩稳定，学风和工作作风都较为踏实，坚持出满勤，并能积极参加社会实践和文体活动，劳动积极。是一位发展全面的好学生。

　　3. 你是同学拥护、老师信任的班委，乖巧懂事、伶俐开朗、自信大方、乐观合群，是同学们学习的榜样。你爱护集体荣誉，有很强的工作能力，总是及时协助老师完成班务工作，是老师的得力帮手。你心性坦荡，个性鲜明，能大胆说出自己的想法，难能可贵。而你在运动场上的爆发力更让老师同学们惊叹!潜力深厚，希望在高中时期能逐渐发掘出来!

　　4. 你是个做事小心翼翼，感情细腻丰富的女孩，每次看你认真的样子老师都很感动。你也是幸运的，周边有很多人都在关爱着你，所以，对他们，尤其是父母，记得不要太莽撞，不要太任性，要学着体谅，学着换位思考，学着懂事。另外，今后要多运动、多锻炼，有健康才能成就美好未来!

　　5. 你坚强勇敢、乐观大方的性格让老师非常欣赏。学习上始终保持着上进好学的决心和韧性，生活中始终能做到豁达开朗，还有着良好的审美和绘画的专长，令人钦佩!以入世的态度做事，以出世的态度做人，这是我送你的一句话，希望你保持好心态，迎接新的学习生活。

　　6. 最有希望得成功者，并不是才干出众的人，而是那些最善于利用时机去努力开创的人。你是很有才华的孩子，老师希望你能把握好机会，求得上进。你聪明，但也有着许多人共同的毛病——粗心大意和缺乏毅力，若能集中精力持之以恒，坚定目标致力于学习，定能大限度地发挥你的聪明才智!

　　7. 该生遵纪守法，积极参加社会实践和文体活动，集体观念强，劳动积极肯干。是一位诚实守信，思想上进，尊敬老师，团结同学，热心助人，积极参加班集体活动，有体育特长，学习认真，具有较好综合素质的优秀学生。

　　8. 你聪颖活泼，浑身洋溢青春气息。你爱好广泛，善钻精思，具备一定能力，潜质无限。但是在有些时候，在面临一些问题的时候，你总表现得太过紧张，其实，征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是大胆地去做你认为害怕的事，直到你获得成功的经验。继续努力!

　　9. 你是对3班这个集体的成长贡献很大的孩子，是老师的得力帮手。你干练沉稳，坚强隐忍，能从大局出发考虑问题，在很多时候能独当一面。你独立能力强，能够吃苦，但在进入高中的学习上却显得有些吃力。其实你还有很深的潜力尚未挖掘，找对方法，好好加油，世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人，请乐观一点，踏实地走好接下来的每一步!

　　10. 你是个能独立、有主见的女孩，有自己的想法，有一定的决断力。但是独立不代表乖张，有想法不代表恣意妄为。令人高兴的是，你在这点上做的还是不错的。晟君，老师希望你能一如既往地关注于学习而不懈怠，能坚持怀揣着平和感恩的心态简单快乐地生活。

　　11. 你给我的第一印象是有些沉默，其实和朋友在一起时还是很有自己想法的对吧?你看，你布置的新年教室多么出彩!请继续秀出真实而精彩的你!这半个学期的学习有点力不从心，请保持谨慎和细心，保持好的学习习惯，及时弥补所缺漏的环节，大步向前进!

　　12. 该生认真遵守学校的规章制度，积极参加社会实践和文体活动，集体观念强，劳动积极肯干。尊敬师长，团结同学。学习态度认真，能吃苦，肯下功夫，成绩稳定上升。是有理想有抱负，基础扎实，心理素质过硬、全面发展的优秀学生。

　　13. 你是一个真诚待人、温柔可爱的女生。也许是因为你有些不紧不慢的性格，所以在学习上有时候行动力不够坚决，造成了学习成绩的不稳定。请多利用假期时间好好补缺补漏，向上的姿态才是最重要的!

　　14. 老师同学们都在说你是个很有责任心和上进心的孩子，在班级需要的`时候，你承担了劳动委员的重任，经常最后一个离开，就为了班级能有个整洁的环境。老师很感谢你!而更可贵的是，你懂得安排自己的时间，在工作的空隙抓紧时间做作业。希望下学期你的学习成绩也能随你的毅力和执着步步攀升，加油，羽腾!

　　15. 其实你拥有你自己都不确知的才华，从你的文字中可以读出这样的信息：你时常沉醉在自己的小世界中，做自己喜欢做的事情。老师希望你能敞开心扉，多与旁人交流你快乐的体验和想法，不要吝啬展示自己!还有，成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。请务必抓紧每寸光阴，努力学习!

　　16. 你知道吗?在世界上那些最容易的事情中，拖延时间是最不费力的。而学习却是艰辛的劳动过程。表面安静的你其实心里有着自己的想法和烦忧。于是在不经意间，精力被不自觉地转移到一些琐事上，却总无法完全集中心智于学业。也许你也已经意识到，也有了些许进步，那么请千万记住要持之以恒，要付出比别人更多倍的努力!

　　17. 你是班级的数学科代表，老师很高兴选择你担任这个职务，不仅能促进自己的进步，而且也展现了你负责工作的一面。但是学习是要和工作一样，需要一丝不苟的态度，包括上课的听讲是否及时而有效，包括功课的完成是否严谨而认真。下学期，愿看到一个更加全神贯注更加专心致志的你!

　　18. 我一直难忘在运动会上你担任前导牌的样子，为班级添光增彩了不少!你有着绘画的特长，是个善良、真诚的女孩，有着细腻丰富的内心，也许只需一点鼓励，你便会勇敢走下去，希望能在平时多听见你爽朗的笑声!

　　19. 可爱、热情、谨小慎微，这都是你的代名词。你略为腼腆的微笑让人印象深刻。老师一直认为你是能够认真仔细地作好每一件事情、成就每一个细节的，因此，希望你能珍惜时间，提高效率，在学习上狠狠加油!

　　20. 其实，任何事都是有重量的，那么，就看你把它变成压力还是重力了。在这个方面，我很高兴地看到你做的很好，你学习自觉，成绩便是努力的证明。老师安排你做物理科代表就是希望能多培养你的责任意识、大局意识和管理能力，希望以后在这方面能看到你更加出色的表现!

　　21. 你是个可爱善良，懂事乖巧的女孩。作为语文科代表，兢兢业业，一丝不苟。你对人也是特别真诚热情，偶尔透露出的忧郁是旁人不易察觉的。但是你知道，成长就是破蛹成蝶的过程，高中是人生的重要阶段，勇敢地迈好每一步吧，享受成长带来的所有痛苦和快乐!

　　22. 你很有能力，也很潜力，但欠缺的却是耐力和毅力。君子厚积而薄发，希望你能振作精神，跟上进度，迎头赶上，期待你获得更大的进步!

　　23. 你曾经和我说过你的理想，但你对理想的憧憬和你所付出的努力程度却总是难成正比。若现在你觉得有障碍挡在前行之路上，那就说明你还没有把目标看的足够清楚。宁在事前心力交瘁的努力，事后悠然自得;也不要在事前悠然自得，而在临事时无法适从。你现在欠缺的就是对自己发狠奋进的恒心，柏宇，“要想人前显贵，必定人后受罪”，成功要靠实践去争取，而不是光靠几句好听的决心话!

　　24. 你乖巧大方，组织能力一流，但在学习上总显得有些力不从心。快马加鞭迎头赶上固然是必需，但也别太心急，要知道，欲速则不达，只要踏实努力，不懂就问，采用适合自己的学习方法，就会看到进步。也许刚开始的时候进步很小，小到你看不见，但是不要灰心，万事开头难!将事前的忧虑，换为事前的思考和计划，彻底放松，加强锻炼，养足精神再迎战!你能做到的，蔡炜，加油!

　　25. 该生能遵守校纪班规，尊敬师长，能与同学和睦相处，勤学好问，有较强的独立钻研能力，分析问题比较深入、全面，在某些问题上有独特的见解，学习成绩在班上一直能保持前茅，乐于助人，能帮助学习有困难的同学。

　　26. 不论在体育场还是教室里，看到你神采奕奕的样子，总让人联想到“英姿飒爽”这四个字。这确是一个高中生应该有的精神面貌。你做事认真，顾全大局，真的非常难得。希望能保持这样良好的状态，继续前进!也希望能够多和老师同学交流，多提些对班集体建设的好建议!

　　27. 该生能以校规班规严格要求自己，积极参加社会实践和文体活动。尊敬师长，团结同学。集体观念强，劳动积极肯干。积极参加各种集体活动和社会实践活动。学习目的明确，刻苦认真，成绩稳定，是一个有理想、有抱负，基础扎实，心理素质过硬，全面发展的优秀学生。

　　28. 我很高兴看到你是个有上进心，有责任感，能够让家人、师长宽慰的孩子。有努力就有回报，你下半学期的表现不就证明了这一点吗?进步是随着时间节节上升的，不要太过急躁，要知道，若你不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。新学期要重整旗鼓，再接再励!

　　29. ××× 独立性较强，对自己的能力也有准确的定位。建议今后学习上要养成勤思爱问的习惯，不能做井底之蛙，满足于现状，要充分利用他人的智慧，最后达到“好风凭借力，送我上青云”的目的。

　　30. ××× 每天在教室，都能看到你埋头苦读的身影，可见读书的态度很端正;而你每一次考试的成绩虽然不拔尖，却是在稳步前进，可见读书的效率还不错。请继续保持这种虚心求学、稳步前进的态势，相信一年半以后的高考，你必将崭露头角，脱颖而出。

高中数学教案13

　　教学目标

　　（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题。

　　（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念。

　　（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点。

　　（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法。

　　（5）进一步理解数形结合的思想方法。

　　教学建议

　　教材分析

　　（1）知识结构

　　曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质。曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序。前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程。至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究。因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题。

　　（2）重点、难点分析

　　①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想。

　　②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法。

　　教法建议

　　（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的.解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系。曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系。注意强调曲线方程的完备性和纯粹性。

　　（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备。

　　（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。

　　（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：

　　设表示曲线上适合某种条件的点的集合；

　　表示二元方程的解对应的点的坐标的集合。

　　可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即

　　（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程（曲线的方程），这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做。同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得。教学中对课本例2的解法分析很重要。

　　这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

　　文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程

　　由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程。”

　　（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”。

高中数学教案14

　　[学习目标]

　　（1）会用坐标法及距离公式证明Cα+β；

　　（2）会用替代法、诱导公式、同角三角函数关系式，由Cα+β推导Cα—β、Sα±β、Tα±β，切实理解上述公式间的关系与相互转化；

　　（3）掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用简单的三角变换，解决求值、化简三角式、证明三角恒等式等问题。

　　[学习重点]

　　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

　　[学习难点]

　　余弦和角公式的'推导

　　[知识结构]

　　1、两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础。其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数（证明过程见课本）

　　2、通过下面各组数的值的比较：①cos（30°—90°）与cos30°—cos90°②sin（30°+60°）和sin30°+sin60°。我们应该得出如下结论：一般情况下，cos（α±β）≠cosα±cosβ，sin（α±β）≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin（0+α）=sin0+sinα=sinα。

　　3、当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形。注意两角和与差的三角函数是诱导公式等的基础，而诱导公式是两角和与差的三角函数的特例。

　　4、关于公式的正用、逆用及变用

高中数学教案15

　　教学目标

　　(1)了解算法的含义，体会算法思想。

　　(2)会用自然语言和数学语言描述简单具体问题的算法;

　　(3)学习有条理地、清晰地表达解决问题的步骤，培养逻辑思维能力与表达能力。

　　教学重难点

　　重点：算法的含义、解二元一次方程组的算法设计。

　　难点：把自然语言转化为算法语言。

　　情境导入

　　电影《神枪手》中描述的凌靖是一个天生的狙击手，他百发百中，最难打的位置对他来说也是轻而易举，是香港警察狙击手队伍的第一神枪手、作为一名狙击手，要想成功地完成一次狙击任务，一般要按步骤完成以下几步：

　　第一步：观察、等待目标出现(用望远镜或瞄准镜);

　　第二步：瞄准目标;

　　第三步：计算(或估测)风速、距离、空气湿度、空气密度;

　　第四步：根据第三步的结果修正弹着点;

　　第五步：开枪;

　　第六步：迅速转移(或隐蔽)

　　以上这种完成狙击任务的方法、步骤在数学上我们叫算法。

　　课堂探究

　　预习提升

　　1、定义：算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题。

　　2、描述方式

　　自然语言、数学语言、形式语言(算法语言)、框图。

　　3、算法的要求

　　(1)写出的算法，必须能解决一类问题，且能重复使用;

　　(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果。

　　4、算法的特征

　　(1)有限性：一个算法应包括有限的操作步骤，能在执行有穷的操作步骤之后结束。

　　(2)确定性：算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯一确定的。

　　(3)可行性：算法中的每一个步骤都是可以在有限的时间内完成的基本操作，并能得到确定的结果。

　　(4)顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后续，且除了最后一步外，每一个步骤只有一个确定的后续。

　　(5)不唯一性：解决同一问题的算法可以是不唯一的

　　课堂典例讲练

　　命题方向1对算法意义的理解

　　例1、下列叙述中，

　　①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;

　　②按顺序进行下列运算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;

　　③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到伦敦观看奥运会开幕式;

　　④3x>x+1;

　　⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12。

　　能称为算法的个数为(　　)

　　A、2

　　B、3

　　C、4

　　D、5

　　【解析】根据算法的含义和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④，3x>x+1不是一个明确的步骤，不符合明确性;⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾。

　　【答案】B

　　[规律总结]

　　1、正确理解算法的概念及其特点是解决问题的关键、

　　2、针对判断语句是否是算法的问题，要看它的步骤是否是明确的和有效的，而且能在有限步骤之内解决这一问题、

　　【变式训练】下列对算法的理解不正确的是________

　　①一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的

　　②算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序构成的完整的解题步骤

　　③算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果

　　④一个问题只能设计出一个算法

　　【解析】由算法的有限性指包含的步骤是有限的故①正确;

　　由算法的`明确性是指每一步都是确定的故②正确;

　　由算法的每一步都是确定的，且每一步都应有确定的结果故③正确;

　　由对于同一个问题可以有不同的算法故④不正确。

　　【答案】④

　　命题方向2解方程(组)的算法

　　例2、给出求解方程组的一个算法。

　　[思路分析]解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法(即先将方程组化为一个三角形方程组，再通过回代方程求出方程组的解)解线性方程组、

　　[规范解答]方法一：算法如下：

　　第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11

　　即方程组可化为

　　第二步，解方程③，可得y=-1，④

　　第三步，将④代入①，可得2x-1=7，x=4

　　第四步，输出4，-1

　　方法二：算法如下：

　　第一步，由①式可以得到y=7-2x，⑤

　　第二步，把y=7-2x代入②，得x=4

　　第三步，把x=4代入⑤，得y=-1

　　第四步，输出4，-1

　　[规律总结]1、本题用了2种方法求解，对于问题的求解过程，我们既要强调对“通法、通解”的理解，又要强调对所学知识的灵活运用。

　　2、设计算法时，经常遇到解方程(组)的问题，一般是按照数学上解方程(组)的方法进行设计，但应注意全面考虑方程解的情况，即先确定方程(组)是否有解，有解时有几个解，然后根据求解步骤设计算法步骤。

　　【变式训练】

　　【解】算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③

　　S2，解③得x=;

　　S3，②-①×2得5y=3;④

　　S4，解④得y=;

　　命题方向3筛选问题的算法设计

　　例3、设计一个算法，对任意3个整数a、b、c，求出其中的最小值、

　　[思路分析]比较a，b比较m与c―→最小数

　　[规范解答]算法步骤如下：

　　1、比较a与b的大小，若a

　　2、比较m与c的大小，若m

　　[规律总结]求最小(大)数就是从中筛选出最小(大)的一个，筛选过程中的每一步都是比较两个数的大小，保证了筛选的可行性，这种方法可以推广到从多个不同数中筛选出满足要求的一个。

　　【变式训练】在下列数字序列中，写出搜索89的算法：

　　21,3,0,9,15,72,89,91,93

　　[解析]1、先找到序列中的第一个数m，m=21;

　　2、将m与89比较，是否相等，如果相等，则搜索到89;

　　3、如果m与89不相等，则往下执行;

　　4、继续将序列中的其他数赋给m，重复第2步，直到搜索到89。

　　命题方向4非数值性问题的算法

　　例4、一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊。

　　(1)设计安全渡河的算法;

　　(2)思考每一步算法所遵循的共同原则是什么?

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