一元二次不等式教案

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一元二次不等式教案

　　作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是小编帮大家整理的一元二次不等式教案，欢迎大家分享。

一元二次不等式教案

一元二次不等式教案1

　　教学目标:

　　(1)透彻理解、掌握一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的内在联系,会解一元二次不等式;

　　(2)培养学生数学的数形结合思想和转化能力,学会主动探求问题和寻找解决问题的方法。

　　教学重点:一元二次不等式的解法(图象法)

　　教学难点:

　　(1)一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;

　　(2)数形结合思想的渗透

　　教学方法与教学手段:

　　尝试探索教学法、归纳概括。

　　教学过程:

　　一、复习引入

　　1.复习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系

　　[师]前面我们已经学习了绝对值不等式的解法,今天开始研究一元二次不等式的解法。(板书课题)记得在初中我们已学习了一元一次不等式的解法,还记得是用什么方法解的吗?

　　学生可能回答是代数方法,也可能说是利用直线图象。

　　[师]初中学习了一次函数的图象,使得我们对一元一次不等式的解法有了更深入的了解。首先请同学们画出 y=2x-7

　　[师]请同学们画出图象,并回答问题。

　　一次函数y=2x-7的图象如下:

　　填表:

　　当x 时,y = 0,即 2x-7 0;

　　当x 时,y < 0,即 2x-7 0;

　　当x 时,y > 0,即 2x-7 0;

　　注:(1)引导学生由图象得出结论(数形结合)

　　(2)由学生填空(一边演示y<0,y>0部分图象)

　　从上例的特殊情形,你能得出什么结论?

　　注:教师引导下学生发现其结论,并由学生尝试叙述:一元一次方程ax+b=0的根实质上就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标;一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集实质上就是使得函数的图象在x轴上方还是下方时x的取值范围。

　　2.新课导入

　　[师]我们可以利用一次函数的图象快速准确地求出一元一次不等式的解集,那能否也可以借助二次函数的图象来解一元二次不等式呢?

　　二、讲解新课

　　1、一元二次不等式解法的探索

　　[师] 你知道二次函数的草图是怎样画出的吗?(用"特殊点法"而非课本上的"列表描点法")你能回答以下问题吗?二次函数 y=x2-4x+3的图象如下:

　　填表:方程x2-4x+3=0(即y=0)的解是

　　不等式x2-4x+3>0(即y>0)的解集是

　　不等式x2-4x+3<0(即y<0)的解集是

　　注:学生类比前面的知识,能根据二次函数的图象确定与x轴的交点,确定对应的一元二次方程的根,从而确定一元二次不等式的解集。(边说边画y>0,y<0部分图象)

　　[师]现在如果我变动这条抛物线,请大家观察抛物线与x轴的交点有何变化?

　　注:引导学生发现一元二次方程的根有三种情况,其对应的二次函数图象与x轴的位置关系也有三种情况,是由 >0, =0,<0来确定的。

　　2、讲解例题

　　[师]接下来请同学们再来分析几个具体例子

　　(板书)例:解下列各不等式

　　(1)2x2-3x-2>0;

　　(2) -3x2+6x>2;

　　(3)4x2-4x+1>0;

　　(4)-x2+2x-3>0.

　　注:跟学生共同详细分析(1),强调解题规范性,其余(2)(3)(4)由学生完成,并小组讨论。

　　解:(1)方程2x2-3x-2=0的两根为x1=- 或 x2=2,(画草图,结合图象)

　　所以原不等式的解集是{x| x<- x="">2 }

　　四、课后作业:书P21/习题1.5/1.3.5.6

　　五、教学设计说明:

　　1、本节课教学设计力图体现以学生发展为本,遵循学生的认知规律,体现循序渐进的教学原则,通过对原有知识的复习,引导学生类比探索新的知识,激发学生的求知欲望,调动学生的积极性。

　　2、本节课采用在教师引导下启发学生探索发现,体会解题过程中形结合思想方法,使之获得内心感受。

　　3、本节课的重点是利用图象解一元二次不等式,让学生明确一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的联系。在思维训练方面,注重从特殊到一般,从具体到抽象思维的培养。归纳总结可以训练学生的收敛思维,有助于完善学生的思维结构。

　　4、本节课的例题及课堂练习是课本上的习题,其目的在于落实基础,提高运算能力。

一元二次不等式教案2

　　一、教学目标

　　【知识与技能】

　　掌握求解一元二次不等式的简单方法，能正确求解一元二次不等式的解集。

　　【过程与方法】

　　在探究一元二次不等式的解法的过程中，提升逻辑推理能力。

　　【情感、态度与价值观】

　　感受数学知识的前后联系，提升学习数学的热情。

　　二、教学重难点

　　【重点】一元二次不等式的解法。

　　【难点】一元二次不等式的解法的探究过程。

　　三、教学过程

　　(一)导入新课

　　回顾一元二次不等式的'一般形式，组织学生举例一些简单的一元二次不等式。

　　提问：如何求解?引出课题。

　　(二)讲解新知

　　结合课前回顾的一元二次不等式的一般形式，对比之前所学内容，引导学生发现其与一元二次方程和二次函数的共同特点。

一元二次不等式教案3

　　各位评委、各位专家，大家好！今天，我说课的内容是人民教育出版社全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一章第五节“一元二次不等式解法”。

　　下面从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教法与学法、课堂设计、效果评价六方面进行说课。

　　一、教材分析

　　（一）教材的地位和作用

　　“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是本章集合知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。同时，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

　　（二）教学内容

　　本节内容分2课时学习。本课时通过二次函数的图象探索一元二次不等式的解集。通过复习“三个一次”的关系，即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系；以旧带新寻找“三个二次”的关系，即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系；采用“画、看、说、用”的思维模式，得出一元二次不等式的解集，品味数学中的和谐美，体验成功的乐趣。

　　二、教学目标分析

　　根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高一学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：

　　知识目标——理解“三个二次”的关系；掌握看图象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

　　能力目标——通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力，“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

　　情感目标——创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

　　三、重难点分析

　　一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具。本节课的重点确定为：一元二次不等式的解法。

　　要把握这个重点。关键在于理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法——图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。由于初中没有专门研究过这类问题，高一学生比较陌生，要真正掌握有一定的难度。因此，本节课的难点确定为：“三个二次”的关系。要突破这个难点，让学生归纳“三个一次”的关系作铺垫。

　　四、教法与学法分析

　　（一）学法指导

　　教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课主要是教给学生“动手画、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给了学生获取知识的途径、思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体；只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有新“获”，学生也才会逐步感受到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，课堂教学才富有时代特色，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。

　　（二）教法分析

　　本节课设计的指导思想是：现代认知心理学——建构主义学习理论。

　　建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，学生应与一定的知识背景即情景相联系，在实际情景下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情景中。

　　本节课采用“诱思引探教学法”。把问题作为出发点，指导学生“画、看、说、用”。较好地探求一元二次不等式的解法。

　　五、课堂设计

　　本节课的教学设计充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。

　　（一）创设情景，引出“三个一次”的关系

　　本节课开始，先让学生解一元二次方程x2-x-6=0，如果我把“=”改成“”则变成一元二次不等式x2-x-60让学生解，学生肯定感到很突然。但是“思维往往是从惊奇和疑问开始”，这样直奔主题，目的在于构造悬念，激活学生的思维兴趣。

　　为此，我设计了以下几个问题：

　　1、请同学们解以下方程和不等式：

　　①2x-7=0；②2x-70；③2x-70

　　学生回答，我板书。

　　2、我指出：2x-70和2x-70的解实际上只需利用不等式基本性质就容易得到。

　　3、接着我提出：我们能否利用不等式的基本性质来解一元二次不等式呢？学生可能感到很困惑。

　　4、为此，我引入一次函数y=2x-7，借助动画从图象上直观认识方程和不等式的解，得出以下三组重要关系：

　　①2x-7=0的解恰是函数y=2x-7的图象与x轴

　　交点的横坐标。

　　②2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

　　在x轴的上方的点的横坐标的集合。

　　③2x-70的解集正是函数y=2x-7的图象

　　在x轴的下方的点的横坐标的集合。

　　三组关系的得出，实际上让学生找到了利用“一次函数的图象”来解一元一次方程和一元一次不等式的方法。让学生看到了解决一元二次不等式的'希望，大大激发了学生解决新问题的兴趣。此时，学生很自然联想到利用函数y=x2-x-6的图象来求不等式x2-x-60的解集。

　　（二）比旧悟新，引出“三个二次”的关系

　　为此我引导学生作出函数y=x2-x-6的图象，按照“看一看说一说问一问”的思路进行探究。

　　看函数y=x2-x-6的图象并说出：

　　①方程x2-x-6=0的解是

　　x=-2或x=3 ；

　　②不等式x2-x-60的解集是

　　{x|x-2,或x3}；

　　③不等式x2-x-60的解集是

　　{x|-23}。

　　此时，学生已经冲出了困惑，找到了利用二次函数的图象来解一元二次不等式的方法。

　　学生沉浸在成功的喜悦中,不妨趁热打铁问一问:如果把函数y=x2-x-6变为y=ax2+bx+c(a0)，那么图象与x轴的位置关系又怎样呢？(学生回答：△0时，图象与x轴有两个交点；△=0时，图象与x轴只有一个交点；△0时，图象与x辆没有交点。)请同学们讨论：ax2+bx+c0与ax2+bx+c0的解集与函数y=ax2+bx+c的图象有怎样的关系？

　　（三）归纳提炼，得出“三个二次”的关系

　　1、引导学生根据图象与x轴的相对位置关系，写出相关不等式的解集。

　　2、此时提出：若a0时，怎样求解不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0？(经讨论之后，有的学生得出：将二次项系数由负化正，转化为上述模式求解，教师应予以强调；也有的学生提出画出相应的二次函数图象，根据图象写出解集，教师应给予肯定。)

　　（四）应用新知，熟练掌握一元二次不等式的解集

　　借助二次函数的图象，得到一元二次不等式的解集，学生形成了感性认识，为巩固所学知识，我们一起来完成以下例题：

　　例1、解不等式2x2－3x－20

　　解：因为Δ0，方程2x2－3x－2=0的解是

　　x1= ，x2=2

　　所以，不等式的解集是

　　{ x| x ，或x2}

　　例1的解决达到了两个目的：一是巩固了一元二次不等式解集的应用；二是规范了一元二次不等式的解题格式。

　　下面我们接着学习课本例2。

　　例2 解不等式－3x2+6x2

　　课本例2的出现恰当好处，一方面突出了“对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解”；另一方面，学生对此例的解答极易出现写错解集(如出现“或”与“且”的错误)。

　　通过例1、例2的解决，学生与我一起总结了解一元二次不等式的一般步骤：一化正—二算△—三求根—四写解集。

　　例3 解不等式4x2－4x+10

　　例4 解不等式－x2+2x－30

　　分别突出了“△=0”、“△0”对不等式解集的影响。这两例由学生练习，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学生中的闪光点，给予热情表扬。

　　4道例题，具有典型性、层次性和学生的可接受性。为了避免学生学后“一团乱麻”、“一盘散沙”的局面,我和学生一起总结。

　　（五）总结

　　解一元二次不等式的“四部曲”：

　　(1)把二次项的系数化为正数

　　(2)计算判别式Δ

　　(3)解对应的一元二次方程

　　(4)根据一元二次方程的根，结合图像(或口诀)，写出不等式的解集。概括为：一化正→二算Δ→三求根→四写解集

　　（六）作业布置

　　为了使所有学生巩固所学知识，我布置了“必做题”；又为学有余力者留有自由发展的空间，我布置了“探究题”。

　　（1）必做题：习题1.5的1、3题

　　（2）探究题：①若a、b不同时为零，记ax2+bx+c=0的解集为P，ax2+bx+c0的解集为M，ax2+bx+c0的解集为N，那么P∪M∪N=______________；②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R，求实数k的取值范围。

　　（七）板书设计

　　一元二次不等式解法（1）

　　五、教学效果评价

　　本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。以“三个一次关系→三个二次关系→一元二次不等式解法”为主线，以“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为灵魂，以“画、看、说、用”为特色，把握重点，突破难点。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。

一元二次不等式教案4

　　解一元二次不等式化为标准型。判断△的符号。若△＜0，则不等式是在R上恒成立或恒不成立。

　　若△＞0，则求出两根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。

　　2．解简单一元高次不等式

　　a．化为标准型。

　　b．将不等式分解成若干个因式的积。

　　c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。

　　3.解分式不等式的解

　　a．化为标准型。

　　b．可将分式化为整式，将整式分解成若干个因式的积。

　　c．求出各个根，在数轴上标出，每个根上画一条竖线，再从右到左相间标正负号，不等式大于0则取标正的范围，小于0则取标负的范围。（如果不等式是非严格不等式，则要注意分式分母不等于0。）

　　4.解含参数的一元二次不等式

　　a．对二次项系数a的讨论。

　　若二次项系数a中含有参数，则须对a的符号进行分类讨论。分为a＞0，a=0，a＜0。

　　b．对判别式△的讨论

　　若判别式△中含有参数，则须对△的符号进行分类讨论。分为△＞0，△=0，△＜0。

　　c．对根大小的讨论

　　若不等式对应的方程的根x1、x2中含有参数，则须对x1、x2的'大小进行分类讨论。分为x1＞x2，x1=x2，x1＜x2。

　　5.一元二次方程的根的分布问题

　　a．将方程化为标准型。（a的符号）

　　b．画图观察，若有区间端点对应的函数值小于0，则只须讨论区间端点的函数值。

　　若没有区间端点对应的函数值小于0，则须讨论区间端点的函数值、△、轴。

　　6.一元二次不等式的应用

　　⑴在R上恒成立问题（恒不成立问题相反，在某区间恒成立可转化为实根分布问题）

　　a．对二次项系数a的符号进行讨论，分为a=0与a≠0。

　　b．a=0时，把a=0带入，检验不等式是否成立，判断a=0是否属于不等式解集。

　　a≠0时，则转化为二次函数图像全在x轴上方或下方。

　　若f(x)＞0，则要求a＞0，△＜0。

　　若f(x)＜0，则要求a＜0，△＜0。

　　⑵特殊题型：已知一不等式的解集（含有字母），求另一不等式的解集（与原不等式系数大小相同，位置不同）。a.写出原不等式对应的方程，由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。

　　b.写出变换后不等式对应的方程，由由韦达定理得出解集字母与方程系数间的关系。

　　c.将a中得到的关系变化后带入b的关系中，得到变换后方程的两根。

　　d.判断两根的大小，变换后不等式二次项的系数，从而写出所求解集。

一元二次不等式教案5

　　教学内容

　　3.2一元二次不等式及其解法

　　三维目标

　　一、知识与技能

　　1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；

　　2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；

　　3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；

　　4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.

　　二、过程与方法

　　1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；

　　2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；

　　3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

　　三、情感态度与价值观

　　1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；

　　2.培养学生分析问题和解决问题的能力；

　　3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.

　　教学重点

　　1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.

　　2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.

　　教学难点

　　1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.

　　教学方法

　　启发、探究式教学

　　教学过程

　　复习引入

　　师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的'不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。回顾下等比数列的性质。

　　生：略

　　师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。

　　学生自己讨论

　　点题，板书课题

　　新课学习

　　1.一元二次不等式

　　只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。

　　2.三个“二次”之间的关系及一元二次不等式的解法

　　师在前面我们已经学习过一元二次不等的解法，发现一元二次方程及对应的二次函数有关系，那么同学们课本打开到p77填表格。

　　生略

　　师学生讨论归纳出解一元二次不等式的步骤

　　一看：看二次项系数的正负，并且变形为

　　二算：，判断正负，有根则求并画出对应的函数图象

　　三写：写出原不等式的解集