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二项式定理教案
§3.1.1 二项式定理(1)
[教学目标]
掌握二项式定理的内容,会求多项式的二项展开式,二项式系数以及二项展开式的通项;经历二项式定理的推导过程,体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力.
[重点难点]
经历二项式定理的推导过程.
[教学过程]
一. 二项式定理的引入
123已知abab,aba22abb2,aba33a2b3ab2
4n的展开式,进而研究的展开式. abab
4ababababab,
0母的乘积,因而各项都是四次式: a4,a3b,a2b2,ab3,b4a4C4(每个括号都
1不取b),a3b的系数为C4(任取一个括号取ba),a2b2的系数为C42,
3ab3的系数为C4,b4的系数为C44.
40413244因此abC4aC4a3C4b.
1202122参照上式,有abb;abC2aC2abC2b;
312233 a3C3abC3ab2C3b.
二. n有
n1n1rnrrnnabCnabCnbnN* anCn
n右多项式叫做ab的二项展开式,共有n1项,其中各项的系数
rCnr0,1,2,,n叫做二项式系数,式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项,它是展开式的第r1项,用Tr1表示,即Tr1Cnranrbr.
用组合数的方法证明二项式定理.
三. 例题与练习
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1例1 求x的二项展开式. x
141131221314142xC4xC4xC4解: xx4C4x4x6. xx2x4xx-xx42344
例2
求x的二项展开式.
解
5 5
例解 例解例证例解例7 求2x1的展开式的第4项的系数.
3解: 2x1的展开式的第4项是T31C72x773713560x4.故所求系数为560.
335. 注: 第4项的二项式系数为C7
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§3.1.2 二项式定理(2)
[教学目标]
进一步掌握二项式定理及其展开式的特点;体验二项式系数的对称性.
[教学过程]
一. 复习回顾
n ninii0n1n12n22nn1. 二项式定理:abCnabCnaCnabCnabCnb, 展开式共 i0
有
二 例 解
. 解 例
解例3 已知1x展开式中的第5,6,7项的系数成等差数列,求n的值.
546CnCnn7orn14. 解: 2Cn例4 求的二项展开式中的常数项. 6
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解: 设二项展开式中的常数项为第r1项,即
Tr1Cr16
6r6kk,由0k3. 33k
所以二项展开式中的常数项为T4
n205. 821例
2*解例解例解例证例解 1x992x993x99100x99123100x995050x99,所求系数为5050. 上海大学市北附属中学数学教学网
§3.2 二项式系数的应用
[教学目标]
了解二项式系数表及其特征,掌握二项式系数的性质;体验”杨辉三角”的优美排列和数学规律. [重点难点]
二项式系数的性质. [教学过程]
一. 二项式系数表
n
将ab的展开式的二项式系数列表如下
1
11ab
2
121ab
3
1331ab 4
ab14641 5
1510105ab
6
16152015ab
n012n2n1n
CnCnCnCnCnab
二. 二项式系数的性质
性质1 (对称性),即CnrCnnr.
性质2 (递归性)除1,即CnmCnm1Cnm1.
012n
CnCnCn2n. 性质3 第n2n,即Cn
三. 例1 求证的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数
的和 n0n1n1rnrrnn
证: abCnaCnabCnabCnb,令a1,b1,得
nn123n
CnCn1Cn11Cn0Cn
022r132r1
0CnCnCnCnCnCn
022r132r1CnCnCnCnCnCn.
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例2 在二项式1x的展开式中,求含x的奇次项的系数和.
0122331313
解: 方法一 1xC13C13xC13xC13xC13x
1313
所以展开式中含x的奇次项的系数和为C13C13C13.
13
13
02121313例;
当证例证四2233
x,Cnx,,xn的值也与零非常接近.所以1x1nx. 近,当n不太大时, Cn
例5 求下列数的近似值:(1)1.0003;(2)0.998. 解: (1)1.000310.0003150.00031.0015;
5
5
54
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(2)0.99810.002140.0020.992.
§3.2 二项式定理习题课
n nrnrr
1．abCnab;
r1
二 例 解
例 解 . 例 解
T一． 回忆复习二项式定理及性质
例4 若12xa0a1xa2x2a7x7,求a1a2a3a7.
解: 令x1,则12a0a1a2a7,又a01,a1a2a3a72. 例5设12x
100
7
44
a0a1x1a2x1a100x1,求a1a3a5a99.
2100
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解: 令x2,则5100a0a1a2a100,令x0,则1100a0a1a2a100,
510012a1a3a99a1a3a99
1100
51. 2
例6
设2
100
a0a1xa2x2a100x100,求
2
2
解例证例解例解例解: anC22n
n2
2n481128 anCnnn1n1n
22232n
limnaan2a3111111
18. 8limnn1n2233
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例11 证明46n5n19nN*能被20整除. 证: 46n5n194515419
n1n1nn1n1n
45Cn5Cn5154Cn4Cn419
1n2n1
n1n11n2n1n
n
例证
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1.3.1二项式定理教案
1.3.1二项式定理
公主岭第三高级中学 数学组——张鹤
一.三维目标
1.知识与技能：了解二项式定理的形成和过程，掌握二项式定理，会用其展开式的通项求某一项。
2.过程与方法：了解二项式定理的推导过程进行类比，归纳推理推出二项式定理掌握二项式定理说明其应用。
3.情感态度与价值观：体会知识间的递进关系。
二．德育目标
1.提高学生的归纳推理能力
2.树立由特殊到一般的归纳知识。
三，教学重点与难点
1.2.教学难点：运用多项式乘法及排列组合知识推导二项式定理的形成过程
授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应
用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习 教学过程：
一、复习引入：
122 ⑴(ab)2a22abb2C20a2C2abC2b；
1223⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C30a3C3abC3ab2C3b⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，
即展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1
1
种，即C40种，a4的系数是C40；恰有1个取b的情况有C4种，a3b的1系数是C4，恰有2个取b的情况有C42种，a2b2的系数是C42，恰有3
种，ab3的系数是C43，有4都取b的情况有C443个取b的情况有C4
种，b4的系数是C44，
132223344
∴(ab)4C40a4C4abC4abC4abC4b．
二、讲解新课：
1nrnrrnn二项式定理：(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)
⑴(ab)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：
an，anb，…，anrbr，…，bn，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取b的情况有1种，即Cn0种，an的系数是Cn0；
11
恰有1个取b的情况有Cn种，anb的系数是Cn，……，
恰有r个取b的情况有Cnr种，anrbr的系数是Cnr，……， 有n都取b的情况有Cnn种，bn的系数是Cnn，
1nrnrrnn
∴(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，⑶它有n1项，各项的系数Cnr(r0,1,n)叫二项式系数，
⑷Cnranrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnranrbr． ⑸二项式定理中，设a1,bx，则
1rr(1x)n1CnxCnxx
三、讲解范例：
例1．(1)展开(11)4．(2)
展开x
6
例2．（1)求(12x)7的展开式的第四项的系数 求(x1)9的展开式中x3的系数
x
练习 （1)(12x)5___________ （2___________ （3） 第三项的系数是___________ 练习 （1）求(2x3y)6的展开式的第三项 （2）求(3y2x)6的展开式的第三项
五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想—六、课后作业：
A层次：习题1.3 T2 、T3 、 B习题T4(1)(2)
若(2x3
1n
)的展开式中，若常数项存在，则2x
n的最小值
七、板书设计
1.3.1二项式定理
（1）
0n1nrnrrnn
(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)
（2）二项式系数 （3）Tr1Cnranrbr
r
(r=0,1,2........n) Cn
（4）二项式定理中，a1,bx
1rr
(1x)n1CnxCnxxn
例1
二项式定理教学案设计
《二项式定理(一)》教案设计
教材：人教A版选修2-3第一章第三节
一、教学目标
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析(ab)3的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
三、教学过程
（一）提出问题，引入课题
引入：二项式定理研究的是(ab)n的展开式，如：(ab)2a22abb2，
(ab)3? (ab)4? (ab)100? 那么(ab)n的展开式是什么？
【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.
（二）引导探究，发现规律
1、多项式乘法的再认识．
问题1. (a1a2)(b1b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？
问题2. (a1a2)(b1b2)(c1c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、(ab)3展开式的再认识
探究1：不运算(ab)3，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：
(1) 合并同类项之前展开式有多少项？
(2) 展开式中有哪些不同的项？
(3) 各项的系数为多少？
(4) 从上述三个问题，你能否得出(ab)3的展开式？
探究2：仿照上述过程，请你推导(ab)4的展开式.
【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(ab)3的展开式进行再思考，分析
n各项的形式、项的个数，这也为推导(ab)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有
“法”可依．
(三) 形成定理，说理证明
探究3：仿照上述过程，请你推导(ab)n的展开式．
0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——— 二项式定理
证明：(ab)是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理
nkkbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ab，
它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取k个n可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是annk
kb的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
1
【设计意图】通过仿照(ab)3、(ab)4展开式的探究方法，由学生类比得出(ab)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．
(四) 熟悉定理，简单应用
二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）
1. 项数：共有n１项.
2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．
各项的次数都等于n．
012knk3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn(k0,1,,n)称为二项式系数.
knkk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk1表示.
knkk即通项为展开式的第k１项: Tk1=Cnab
变一变 （1）(ab)n （2）(1x)n
例. 求(2x16)的展开式. x
思考1：展开式的第３项的系数是多少？
思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？
思考3：你能否直接求出展开式的第３项？
【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．
(五) 课堂小结，课后作业
小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）
0n1n1knkknn1. 公式： (ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)
2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.
作业
巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3
012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质． ,Cn,Cn,,Cn,,Cn
教案设计说明
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．
本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．
本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(ab)为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．
n3
2
二项式定理教学设计
一、教学目标
1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用
2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。
3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和-谐美和对称美。
二、教学重点、难点
重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式
难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别
三、教学过程
创设问题情境：
今天是星期三，15天后星期几，30天后星期几，8100天后星期几呢？
前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几
新课讲解：
问题1 abdc的展开式有多少项？有无同类项可以合并？
由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的，所以学生能够快速的说出答案。
问题2 abb的ab原始展开式有多少项？有几项是同类项？项是怎样构成a
的？有规律吗？
学生根据乘法展开式也很快得出结论
问题3 abbaa2bab的3原始展开式有多少项？经合并后又只能有几项？是哪几项？
学生仍然根据乘法公式算出了答案
问题4 abbaaba的bab的原始展开式有多少项？
44问题5 你能准确快速地写出ab的原始展开式的16项吗？经合并后，又只能有哪几
项？
此时，学生能说出其中的一两项，并不能全部回答出来所有的项，思维觉察到麻烦，困难，易出错——借此“愤悱”之境，有效的实现思维的烘热）
启发类比：4个袋中有红球a，白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？
在4个括号（袋子）中
问题6 其个数，为何恰好应为该项的系数？
nrr
问题7 ab在合并后的展开式中，ab的系数应该是多少？有理由吗？
n
问题8 那么，该如何将ab轻松、清晰地展开？请同学们归纳猜想 学生们快速地说出
n
ab
n
0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*
我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？
思路：证明中主要运用了计数原理！
① 展开式中为什么会有那几种类型的项？
ab
n
是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相
nk
乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a② 展开式中各项的系数是怎么来的？
bk的形式，k0,1,2,,n
k
ankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到
kankbk，因此，该项的系数为Cn
定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
ab
n
0n1n1n2n22knkknn
CnaCnabCnabCnabCnbnN*
n
注：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式
（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开
例：把b换成b，则
ab
n
0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*
k
n
练习：令a1,bx，则
1x
n
01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*
问题9 二项式定理展开式中项数、指数、系数特点是什么？哪一项最有代表性
公式特征：
（1） 项数：共有n1项
（2） 指数规律： ① 各项的次数都等于二项式的系数n（关于a与b的齐次多项式） ② 字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n
knkk（3） 二项式展开式的通项：Tk1Cnab，k0,1,2,,n
012knk（4） 二项式系数：依次为Cn。这里Cn（k0,1,2,,n）称为二,Cn,Cn,Cn,Cn
项式系数
现在同学们能告诉老师8100天后星期几吗？
思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几 老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以
n810071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn1，故100
应为星期四。
例1
求的展开式 方法一：直接展开 11
技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2x2x2 66
方法二：先合并化简，再展开
建议用第二种方法简单些。
变式一：展开式中的常数项是多少？
变式二：展开式中的第3项是多少？
变式三：展开式中的第3项的系数是多少？
变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？
注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。
例2 （1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数
13 （2）x的展开式中x的系数和中间项 x
例3 求(xa)12的展开式中的倒数第4项
小结：（1）注意二项式定理中二项展开式的特征
（2）区别二项式系数、项的系数
（3）掌握用通项公式求二项式系数、项的系数及项。
作业：P37 4，5
教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，当大家不知道老师葫芦里卖的什么药时，老师由浅入深的提问，最后问到81009天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，整个过程顺理成章地完成。
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的
能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，
体会数学语言的简洁和严谨．
二、教学重点、难点
重点：用计数原理分析 的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各
项系数的规律.
一、说教材
1、地位及作用：
二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高
的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
2、重点难点分析：
重点：
（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式系数的规律。
（2）能够应用二项式定理、对二项式进行展开。
难点：
运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
A.知识与技能
（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、
展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。
B.过程与方法
通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想，归纳的能力。
C.情感态度与价值观
（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣
和信心。
（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和-谐对称美。
三﹑说教法和学法
1、教法
为了完成本节课的教学目标，让学生主动探索展开式的由来是关键。本节课的教法贯
穿启发式教学原则，采用多媒体辅助教学方法，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，逐步达到即定的教学目标，发展学生的逻辑思维能力；同时，考虑到学生的个体差异，在教学的各个环节进行分层施教，实现“有差异”的发展。
2 、学法
根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主”的教学理念，让每一个学生自主参与整
堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行类比迁移，对照学习。
3 、教学手段
利用电脑，投影仪等多媒体教学展现二项式定理的推导过程，激发学生的的兴趣。
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