一般解决临界问题的基本解决方法及例题介绍

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　　1.演绎法:以原理、定理和定律为依据,先找出所研究问题的一般规律和一般解,然后分析讨论其特殊规律和特殊解,即采用从一般到特殊的推理方法。

　　2.临界法:以原理、定理或定律为依据,直接从临界状态和相应的临界量入手,求出所研究问题的特殊规律和特殊解,以此对一般情况进行分析讨论和推理,即采用林特殊到一般的推理方法。

　　由于临界状态比一般状态简单,故解决临界问题时用临界法比演绎法简捷。在找临界状态和临界量时,常常用到极限分析法:即通过恰当地选取某个物理量(临界物理量)推向极端(“极大”和“极小”,“极左”和“极右”等),从而把隐蔵的临界现象(或“各种可能性”)暴露出来,找到解决问题的“突破口”。因此,先分析临界条件

　　物理学中临界问题题1 如图所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度,使它做圆周运动,图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作用力可能是

　　A.处为拉力,为拉力

　　B.处为拉力,为推力

　　C.处为推力,为拉力

　　D.处为推力,为推力

　　解析因为圆周运动的物体,向心力指向圆心,小球在最低点时所需向心力沿杆由a指向O,向心力是杆对小球的拉力与小球重力的合力,而重力方向向下,故杆必定给球向上的拉力,小球在最高点时若杆恰好对球没有作用力,即小球的重力恰好对球没有作用力,即小球的重力恰好提供向心力,设此时小球速度为vb,则:mg = m vb =

　　当小球在最高点的速度vvb时,所需的向心力Fmg,杆对小球有向下的拉力;若小球的速度vvb时,杆对小球有向上推力,故选A、B正确

　　评析本题关键是明确越过临界状态vb = 时,杆对球的作用力方向将发生变化。

　　题2 在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间距离大于L(L比2r大得多)时,两球之间无相互作用力;当两球心间距离等于或小于L时,两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动,如图所示,欲使两球不发生接触,v0必须满足什么条件

　　临界解析据题意,当A、B两球球心间距离小于L时,两球间存在相互作用的恒定斥力F。故A减速而B加速。当vAvB时,A、B间距离减小;当vAvB时,A、B间距离增大。可见,当vA = vB时,A、B相距最近。若此时A、B间距离x2r,则A、B不发生接触(图12-3)。上述状态即为所寻找的临界状态,vA = vB时x2r则为临界条件。

　　两球不接触的条件是:vA = vB (1)

　　L+sB?sA2r (2)

　　其中vA、vB为两球间距离最小时,A、B球的速度;sA、sB为两球间距离从L变至最小的过程中,A、B球通过的路程。

　　设v0为A球的初速度,由动量守恒定律得:m v0 = mvA + 2mvB (3)

　　由动能定律得 F ? sA = mv02 ? mvA2 (4)

　　F ? sB = (2m)vB2 (5)

　　联立解得:v0

　　评析本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态,为vA = vB且此时x2r

　　物理学题3 一带电质点,质量为m电量为q,以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入图示的第Ⅰ象限区域,为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度射出,可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径. 重力忽略不计.

　　【分析】带电粒子以速度v,沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B时,在洛仑兹力作用下,带电粒子将做匀速圆周运动.为了保证带电粒子能从b点垂直于ox轴出射,带电粒子必须偏转90o角,即粒子在磁场中只能运动1 / 4圆周,而且磁场也不可能充满坐标中的第一象限.所加圆形磁场区域最小的含义,应理解为能使带电粒子完成1 / 4圆周运动,磁场范围刚好能覆盖带电粒子的轨迹——即1 / 4圆周.

　　【示范解答】带电粒子进入匀强磁场前做匀速直线运动,进入匀强磁场后做匀速圆周运动,圆的半径:

　　根据向心力公式:qBv = m

　　得 R =

　　圆心在O1点,如图15?5?2所示.从图中可以知道:连接这1 / 4圆弧两个端点的线段就时最小圆形磁场区域的直径.最小磁场区域的半径为:

　　r = =

　　【点评】为达到控制带电粒子运动轨迹的目的而设置一匀强磁场的问题,着重考查的是逆向思维的能力.在科研实践当中,这类设计实验条件的问题是经常遇到的,因此这类题目具有实际研究的意义,它必然是一种重要的习题类型,它不仅考查了学生对带电粒子在匀强磁场中运动规律掌握的熟练程度,而且考查了学生的空间想象能力和运用数学方法解决物理问题的能力.

　　评析临界值可能以极值形式出现,也可能是边界值(即最大值和最小值)此题中最小值是利用几何知识判断而得到的。A、B两点及AB圆弧分别是磁场的边界点和磁场内的一段弧,是寻找最小圆形磁场区域的依据。

　　题4 圆筒形的薄壁玻璃容器中,盛满某种液体,容器底部外面有光源S,试问液体折射率至少为多少时,才不能通过容器壁在筒外看到光源S(壁厚不计)。

　　解析要在容器外空间看不到光源S,即要求光源S进入液体后,射向容器壁光线的入射角?≥C(临界角),如图所示,由折射定律可知

　　N = sinC = (1)

　　由图可知 ? + ? = 90? ,?≥C , ? ≤ 90? ? C (2)

　　在A点入射处,由折射定律有

　　n = = =

　　所以 cosC = (3)

　　由(1)(3)两式可知C = 45?,n = =

　　由(2)式可知:? 越小越好,临界角C也是越小越好:由sinC = 可知,n越大,C越小;而由n = 可知,当 i 一定时,n越大,? 越小。

　　所以液体的折射率n≥

　　评析本题临界条件有两个,当折射角为90°时的入射角为临界角C和当入射角为90°时?最大。一般几何光学中习题涉及前一个临界条件的较多,涉及后一个临界条件的较少。而求出折射率的临界值为,还要进一步利用(3)式进行讨论n的范围。该题的分析方法是从结果利用临界值C,采取倒推的方法来求解。一般来讲,凡是求范围的物理问题都会涉及临界条件。

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