复变函数学结

好久没更新博客了，原因很多；主要的一点是我在中途换了本书，由《复变函数及应用》换成了《复分析基础及工程应用》，然后又从头看了。现在大概说说这门学问的学习感受吧！

复变函数学结

首先，与微积分相比，它的学习难度要小很多，里面的大部分证明都是短小精悍，非常容易接受的；但是个别定理，比如柯西定理等等，由于受到拓扑知识的约束，一般书上都会略去不证。但是，学的时候一定要注意跟微积分中一些结论的区别，例如：在某一点解析，那么就有无穷次导数；柯西积分公式，洛朗级数，留数等。

其次，说说跟学习的内容吧，一般而言都是上来先讲复数，然后将解析函数，然后讲一些常用的函数（例如指数，对数，三角，多项式），然后讲复积分，然后讲级数，然后讲留数，最后有的书会将初等映射。相比之下，前3章（复积分之前），都是在打基础，解析函数的知道满足的关系式，具体函数中注意log的分支，指数函数的定义稍有奇葩外，都是一些简单的东西，到了复积分，可以说才有了复变自己的内容。积分不仅在实数上是困难的，在复数上也是一样，所以这一章的内容主要围绕如何算复积分展开。总体上讲，有3种方法：参数方程、如果解析，求原函数、柯西积分公式，其中第3种方法是复变特有的。到了级数部分其实是既熟悉又陌生的。泰勒级数大家都会，但是讲完泰勒级数以后还会讲一个幂级数，为洛朗级数做准备，而在讲洛朗级数时，不论前面的定义如何，但落实到具体计算时，都是转化为与幂级数相关的形式计算。而留数的作用，我理解有的时候也是在帮你算积分：柯西定理告诉你，如果解析，那么积分为0，柯西积分公式告诉你如果有1个极点，那么该如何处理，而留数告诉你，如果有多个极点，该如何处理。关于留数的应用，很大一部分都是再算积分（一般或者反常积分）！基本思想也差不多，可见计算积分一直是所有人的心头大患，想法利用简单的方法搞定是数学家们的期望。

最后，复变还稍微学了一点以前公认的东西，例如代数学基本定理的证明使用复变就很简单。

最后，对比一下上面提到的两本书吧。个人感觉《复分析基础及工程应用》是一本更好的教科书，主要原因在于：

1.结构，章节条目更清晰，而且，定义，定理，以及对定理的证明都用粗体标出来了，书后也有便于查阅用的索引页码。而且清楚的告诉了读者，那些内容讲了，那些内容只讲了特例，哪些内容没讲。而且每章后有简短的总结，帮你梳理主要内容。

2.它的讲述的内容更加细致，深入，比如：在初等函数这一章，专门证明了如何部分分式展开；在积分那一张，他给出的复积分的定义是分隔求和取极限，而《复变函数及应用》则直接用的是参数方程定义，感觉很不协调。在级数那一张，它就专门讲了级数收敛的判别法及相关的内容；而在柯西积分定理中，使用了向量分析（格林公式）证明，又使用了周线变形法证明；

3.《复分析基础及工程应用》中应用的例子讲的是与通信紧密相关的傅里叶变换，拉普拉斯变换，z变换等内容，更适合工科学生，而《复变函数及应用》的例子更偏物理一些。

4.《复分析基础及工程应用》中共性映射的讲-法是先给出概念，然后举一些例子；而《复变函数及应用》则是先给出一些映射的例子，然后再讲共性映射，这样感觉开始会有点迷茫，不过我也就是看一个基本概念，因为工作中似乎用不到。

当然《复变函数及应用》的优点也是很明显的，它略去了很多繁琐的细节，直奔主题，如果你想直接搞清楚怎么用，学这本会更快一些。很多章节的安排都是先告诉你一个定理，然后举好几个例子，最后再给出定理的证明。而且课后题也会稍微简单一点，偏计算为主，证明题稍微复杂一点的，都会给出提示。

应用部分我只看了《复分析基础及工程应用》，因为它们与通信专业关系非常密切；《复变函数及应用》的应用比较偏物理，我觉得还是算了吧。

复变函数学结 [篇2]

数学学科发展到现在,已成为了分支众多的学科之一，复变函数则是其中一个非常重要的分支，是19世纪，cauchy, riemann, weierstrass 等数学家分别从不同角度建立了复变函数的系统理论，使复变函数真正成为分析数学的一个重要分支。

复变函数是复数域上的微积分，是基于解决数学内部矛盾的间接需要而产生的，是由于在生产实际和科学研究中发现了应用原型而发展起来的!

复变函数现在是大学理工科专业和数学院系数学类专业的一门重要的基础课,但是复变函数的学习要有高等数学的基础,如果没有这方面的知识,学习复变函数无疑会非常困难,因为这门课程在初学者看来非常抽象,理论性太强。作为复变函数的教学工作者,如何使得这门课程的课堂变得生动有趣,而且使学生在学习过程中容易理解,是我们不得不思考的问题。

由于复变函数的'导数与可导性、微分与可微性是利用类比的方法从一元实变函数相应概念推广到复数域后得到的，它们在形式上与一元实变函数的导数、可导性与微分一致，因此在教学中应当勤于和善于比较，既要重视共性，更要注意不同点，切实关注在推广到复数域后出现了什么新情况和新问题，探讨出现新问题的原因何在。

在这篇报告中,王锦森先生非常生动地介绍了复变函数课程的改革思路和分别讨论了复变函数教学中的难点和重点，并且这些难点和重点的教学方法。

难点和重点介绍方面：讨论了“在复变函数可导性(从而判断函数解析性)的充要条件中，为什么要求函数的实部和虚部必须满足cauchy-riemann方程?”内在含义，复变函数的导数的几何意义是否跟实变函数导数的几何意义相同?，一元实函数的微分中值定理能不能推广到复变函数中来?，复变初等函数与相应的实变初等函数之间的关系与差别，复变函数的积分与一元实变函数的第二型曲线积分的不同之处，即，它们积分和式的结构不同，积分的表达形式不同，物理意义不同等等，还讨论了学习cauchy-goursat 基本定理应当注意的几个问题，复变函数积分中有没有与一元实变函数微积分中的微积分基本定理和newton-leibniz公式相对应的结论等等。

这些难点和重点教学法方面介绍了类比教学法，化“复”为“实”，用“已知”解决“未知”的思想等教学法。

参加培训之前我没有考虑过这些问题，通过这次学习，我对这些难点与重点的认识进一步深入了。以后的教学过程中用到所学的知识，为提高教学质量而努力。

【复变函数学结】相关文章：

高数学结06-04

初中数学学结06-01

大学高数学结06-01

大学数学学结06-02

高数学结范文06-04