均值不等式证明的推导方法

　　均值不等式是数学的公式，这类的公式是怎么证明的呢?证明的过程是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的均值不等式证明内容，希望大家喜欢。

均值不等式证明的推导方法

　　均值不等式证明方法一

　　已知x,y为正实数，且x+y=1 求证

　　xy+1/xy≥17/4

　　1=x+y≥2√(xy)

　　得xy≤1/4

　　而xy+1/xy≥2

　　当且仅当xy=1/xy时取等

　　也就是xy=1时

　　画出xy+1/xy图像得

　　01时，单调增

　　而xy≤1/4

　　∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

　　得证

　　继续追问：

　　拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

　　补充回答：

　　我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的`

　　均值不等式证明方法二

　　证xy+1/xy≥17/4

　　即证4(xy)²-17xy+4≥0

　　即证(4xy-1)(xy-4)≥0

　　即证xy≥4，xy≤1/4

　　而x,y∈R+，x+y=1

　　显然xy≥4不可能成立

　　∵1=x+y≥2√(xy)

　　∴xy≤1/4，得证

　　∵同理0

　　xy+1/xy-17/4

　　=(4x²y²-4-17xy)/4xy

　　=(1-4xy)(4-xy)/4xy

　　≥0

　　∴xy+1/xy≥17/4

　　均值不等式证明方法三

　　已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

　　a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

　　于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

　　即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

　　那么

　　1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

　　≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

　　≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

　　三、

　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

　　概念：

　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

　　2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

　　3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

　　4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

　　a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时劝=”号

　　均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);

　　(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

　　则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

　　由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

　　方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等