几何证明选讲苏教版

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几何证明选讲苏教版

新课标高考试题应对策略之一

———2015年几何证明选讲题解体攻略

赵栋先

2015年，河南省的新课标卷给人以耳目一新的感觉，尤其是他的几何证明选讲问题，命题人确实下了很大功夫，该题分两问，第一问考查四点共圆问题，难度不是很大，但是应用了一元二次方程根与系数关系的知识，应用了相似三角形的证明，第二问是考察四边形的外接圆半径问题，难度还是有的，很多同学理解不透外接圆的本质，所以无从下手解决。

请先看题：

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为m，的长为n，AD, 的长是关于的方程的两个根。

(Ⅰ)证明：，，，四点共圆;

(Ⅱ)若，且，求，，，所在圆的半径。

第一问解法：

证明策略一： 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

因为，的长是关于的方程的两个根.

所以，

因为的长为，的长为，所以 .

连接，根据题意，在和中，

因为，

即，又 ,

从而 .

因此，

所以，，，四点共圆.

证明策略二：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．(根据托勒密定理的逆定理)

事实上，以上定理就是割线定理的逆定理，即托勒密定理的逆定理，先让我们证明他的正确性。

已知：在四边形BCDE中，延长BE边和CD边交于A点，

若AExAB=ADxAC ,求证：B,C,D,E四点共圆。

证明：∵AD·AB=AE·AC，

∴ =

又∵∠A=∠A

∴△AED∽△ABC

∴∠AED=∠B

根据圆内接四边形判定定理知，B,C,D,E四点共圆。

这个结论，即为托勒密定理的逆定理，我们可以利用它证明第一问：

因为，的长是关于的方程的两个根.

所以，

因为的长为，的长为，所以

所以 =AE·AC

根据托勒密定理的逆定理，B,C,D,E四点共圆。

对于第一问来说，我们只要平时多积累方法，总是可以解决的，但是对于托勒密定理的逆定理，大纲中没有要求掌握，我们可以根据自己的基础，有选择的去掌握。

下面我们来解决第二问：

第二问是在第一问四点共圆的基础上，求这四个点所在圆的半径。

解决策略一：我们可以根据圆内接四边形圆心的性质，把圆心做出来，圆心到任一顶点的连线长度即为半径这个思路来解题。

知识联系：那么，圆内接四边形的圆心究竟有什么性质呢?让我们先来考虑一下三角形的外接圆圆心的性质，我们知道，三角形外接圆圆心是各条边垂直平分线的交点，

那么圆内接四边形的圆心是否也有相同的性质呢?答案是一定的。原因很简单：圆内接四边形的圆心到四边形各个顶点的距离相等，则到一条线段两个端点距离相等的点的集合是什么呢?很明显，这样的集合是线段的中垂线，那么到四边形四条边的定点相等的点的集合一定是四条边中垂线的交点了，这个问题一旦解决，第一问的圆心问题就简单了。我们看半径的求解方法。

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