直接证明 综合法

直接证明 综合法

数学方法之综合与分析法篇

一、使用综合法

综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论. 可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件、再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁?

例1：设 ，求证： 证明：由于a，b为非负实数时， ，得 .

那么 上述第一个不等式中等号成立的条件为2x-3=15-3x，解得 故原不等式成立.

点评：本题的证明不重要，产生这个证明方法的思维过程很重要;你知道怎么产生的吗?是综合法的“功劳”，请看：欲从左边证到右边，必须消去x;如何消?只有经过平方，才能将x从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能;于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢的 就“浮出水面”， 解法自然也就诞生了.

二、使用分析法

分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等，可以看出，若使用分析求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施.

例2：设a，b，c为任意三角形的三边边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求证：3S≤I 2<4S.

证明：由于I 2 = (a+b+c)2= a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = a2+b2+c2+2S,

故欲证3S≤I 2<4S，只需3S≤a 2+b2+c2+2S<4S， 只需证S≤a 2+b2+c2<2S，

即ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，

只需证a 2+b2+c2≥ab+bc+ca且a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，

先看a 2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需证2a 2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，

即 ，显然，此式成立.

再看a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca， 只需证 ，

只需证 ;

只需证 为三角形的'三边长. 显然，结论成立

故3S≤I 2<4S.

点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的3S≤I 2<4S，转化为较为熟悉的ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多.

三、综合与分析法同时使用

例3：试证：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边。并且方向相同，那么这两个角相等.

已知：如右图，∠BAC∥∠B′A′C′中，

AB∥A′B′且AC∥A′C′，且两角的方向相同，

求证：∠BAC=∠B′A′C′.

分析：(1)∠BAC与B ′A′C′不可能用

平行线的性质，只有考虑构造两个全等的三角

形，再设法证明两三角形全等，为此，分别在

AC，AB，A′C′，A′B′上截取AE =A′E′，

AD =A′D′，连结DE，D′E′，得到△ADE，

△A′D′E′;

(2)欲证这两三角形全等，只需证DE=D′E′;

(3)只需证DEE′D′是平行四边形，也就是DD′

平行且等于EE′;

(4)只需证“DD′平行且等于AA′且EE′平行且

等于AA′”;

(5)只需证ADD′A′与AEE′A′均为平行四边形，显然这是一个成立的结论.

证明：由于ADD′A′是平行四边形，则DD′平行且等于AA′; 同理，得

EE′平行且等于AA′.

于是DD′平行且等于EE′，那么DEE′D′是平行四边形，得DE=D′E′.

在△ADE与△A′D′E′中，由于AE =A′E′，AD =A′D′且DE =D′E′，因此，△ADE全等于△A′D′E′，从而∠BAC =∠B′A′C′.

点评：分析法找思路较为自然，容易产生解题思路与方法，但由于是“逆行”往往叙述较为复杂;而综合法产生的解法往往又显得很突然，一时不知此法由何而来. 于是，二者结合，互相弥补便成了大家提倡的，即“用分析法找思路，用综合法写过程”是十分行之有效的方法.

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