构造分式函数,利用分式函数的单调性证明不等式
设f(x)在[0,1]上连续,且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1(两个积分都是在0-1上的积分),求证存在一点X∈[0,1]使∣f(x)∣>4
反证法
证明:
∵∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1
∴∫[x-(1/2)]f(x)dx=∫xf(x)dx-(1/2)∫f(x)dx=1
设在[0,1]上处处有|f(x)|<4
则∫[x-(1/2)]f(x)dx<=∫|[x-(1/2)]f(x)|dx
<4∫|x-(1/2)|dx (积分区间[0,1])
=4*{∫[(1/2)-x]dx+∫[x-(1/2)]dx} (积分区间分别为[0,1/2]和[1/2,1])
=4*{-(1/2)[0-(1/2)^2]+(1/2)[(1/2)^2-0]
=4*(1/2)(1/4+1/4)
=1
即∫[x-(1/2)]f(x)dx<1,与∫[x-(1/2)]f(x)dx=1矛盾
设在[0,1]上处处有|f(x)|=4
∵f(x)在[0,1]上连续
∴f(x)在[0,1]上恒等于4
或f(x)在[0,1]上恒等于-4
显然与∫f(x)dx=0矛盾
故以上两个假设均不成立。
∴必存在一点X∈[0,1]使∣f(x)∣>4
原不等式等价于
ln(b/a)>2(b/a-1)/(b/a+1)
由于b>a>0,令b/a=x,x>1
不等式化为lnx>2(x-1)/(x+1)
即lnx>2-4/(x+1)
建立辅助函数f(x)=lnx+4/(x+1),x>1
f'=1/x-4/(x+1)^2=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]
=(x-1)^2/[x(x+1)^2]>0
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以,当x>1时
f(x)>f(1),而f(1)=2
所以lnx+4/(x+1)>2
原不等式成立!
令f(x)=ln(x/a)-2(x-a)/(x+a),a>0,x>0,
则f'(x)=1/x-4a/(x+a)^2=[(x-a)^2]/[x(x+a)^2],
当x>a时,总有f'(x)>0,所以f(x)在[a,+∞)上单调增加,
当b>a时,总有f(b)>f(a)=0,即ln(b/a)>2(b-a)/(b+a).
你那个符号我打不出来,就用c代替了埃设F(x)的导数是f(x)。
情况1:f(x)恒大于0。要证的是:∫(上c下a)f(x)dx=3∫(上b下c)f(x)dx。→F(c)-F(a)=3F(b)-F(c)。→F(c)=[3F(b)+F(a)]/4。因为f(x)单调递增,易知F(x)也是单调递增的。则容易得到F(a)<[3F(b)+F(a)]/4
f(x)在[0,1]上单调递减,证明当x属于(0,1)时,x*[F(1)-F(0)]<=F(x)-F(0)
这个题目有问题,你所说的这种情况还要保证f(x)的2阶导数小于0!你可以把X移过去这样两边就是斜率的表达式, 可以作图观察,在图是凹的情况下不成立,在凸的情况下成立!在凸的情况下,你可以令G(X)=(F(X)-F(0))/X 然后对GX求导通过GX的单调性证明。
【扩展阅读篇】
用文字记载一个星期来的自己的思想、学习、生活情况的文字记录。
它有别于“流水账”,日记,在于流水账是有什么就记录什么,不需要作任何修饰和认识的升华,而且内容不限,一周之内可以记录您每一天的任何事情。而周记就是:每周一次,并且对自己的生活学习思想认识有一定的升华。 周记是对个人和某个团体一周的所见、所闻、所思、所感、所惑、所获的记录。还可以写一件在这一周里让你有所感触的事。
编辑本段作用
从学生角度来说,周记用来了解学生的思想动态,学习情况,答疑解惑,并通过周记的形式而置一些跟教育主题有关的主题作文,提高学生的认识,从而在全班范围内形成正确、积极、健康的舆论环境,并为主题班会准备材料,提高同学们参与的积极性。
从老师的角度来说,周记用来回顾一周的得失,提出经验教训,让班主任对班上情况有一个更加详细和全面的了解,提高工作的针对性和准确性。老师除了用来了解同学一周发生的事情外,还用来锻炼同学的文章水平,使同学文章水平得以提高。
编辑本段格式
周记的题目(写作范围:读后感;见闻;趣事;数学周记......)
1.记事
2.自评(优,缺)
3.解决措施
4.下周计划
5.自己的所见所闻所感
其实周记并没有一种标准的格式,只需要同学们每周把自己的所看到的、听到的、想到的、经历的东西记下来,形成的文字片断或一篇文章,一周写一则就可以了。
编辑本段怎么写周记
不少同学又开始问了,周记怎么写?小学初中周记开头怎么写?
如果是一个片断,将事情写清、将要表达的意思表达完整就行了,当然,时间充裕,你可以将前因后果,你的`想法补充完整,形成一篇文章。不论无论,周记没有什么特殊规定的格式,跟我们平时说话写文章一样,要求就是条理清楚地说清一件事、一个想法。
周记的关键是要真,真事、真情、真想,不要虚构。用力表达你正经历的、正思考的事,对提高你的写作能力是有帮助的,不要当作负担,也不要觉得有任何压力,因为真的,只要排列一下就行了。
同时,周记交给老师后,也可让老师来了解你的生活、你的想法,或许对你有帮助。
去年也谈过周记怎么写,转到下面,大家再看看。
老师布置了周记作业,怎么写呢?许多同学发了愁。
其实周记也好,日记也好,都是要写一段时间内印象最深的事。周记就是本星期内的事。
回想一下这个星期发生了什么,在学习上有什么问题,班级里有什么新鲜事,和朋友老师间关系如何,这些都可以写,和日记相比周记可以写的内容更多了,需要突出一两个重点。
如果大脑里立刻就想起一二件事情,记忆深刻,那么恭喜,你就有材料了,将它们的前因后果,事情经过,个人感想写清楚吧。
有人会问:不好意思,一想到过去的几天,我印象里只记得吃了一次大餐,或者只记得被老师骂了一顿,或者跟同学闹别扭心里不爽,这些都没有重要意义,怎么能写呢?告诉你,既然你想到了,就说明是值得写的。有意义的事情,不一定非得是意义重大,思想崇高,自己的生活琐事,也是值得一写的,只要你写出你的感受。我们每天的日子不都是这些细小的沙子一样的事情组成的吗?这些沙子,串起了我们的欢笑,串起了我们的忧愁,串起了我们的无聊,引领着我们一天天,不知不觉地在长大。
更有一些同学说,这个周最无味,什么也没有发生,没什么可写的。再想想,再想想,多个心眼,仔细观察,你会找到的。
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