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判别式法证明不等式事例

时间:2021-11-23 13:46:03 证明大全 我要投稿
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判别式法证明不等式事例

  判别式法是中学生经常会用到的解答方法,其中用来证明不等式就不错。下面就是学习啦小编给大家整理的判别式法证明不等式内容,希望大家喜欢。

判别式法证明不等式事例

  判别式法题目

  x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa

  等价于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0

  对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) :

  由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解,因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解,求y的取值范围。”

  把x作为未知量,y看作常量,将原式化成关于x的一元二次方程形式(*),令这个方程有实数解,然后对二次项系数是否为零加以讨论:

  (1)当二次项系数为0时,将对应的y值代入方程(*)中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求,……

  (2)当二次项系数不为0时,∵x∈R,∴Δ≥0,……

  此时直接用判别式法是否有可能产生增根,关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。

  原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0,求y的取值范围。”

  判别式法解答

  1、当函数的定义域为实数集R时

  例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.

  解:由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0,所以函数的定义域是R.

  去分母:y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*)

  (1)当y≠1时,由△≥0得0≤y≤4;

  (2)当y=1时,将其代入方程(*)中得x=0.

  综上所述知原函数的值域为〔0,4〕.

  2、当函数的定义域不是实数集R时

  例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.

  解:由分母不为零知,函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.

  去分母:y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. (*)

  (1)当y≠1时,由△≥0得y^2≥0�y∈R.

  检验:由△=0得y=0,将y=0代入原方程求得x=1,这与原函数定义域A相矛盾,

  所以y≠0.

  (2)当y=1时,将其代入方程(*)中得x=1,这与原函数定义域A相矛盾,

  所以y≠1.

  综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}

  对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n):

  由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,

  把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解,求y的取值范围”把x当成未知量,y当成常量,化成一元二次方程,让这个方程有根.先看二次项系数是否为零,再看不为零时只需看判别式大于等于零了.

  此时直接用判别式法是否有可能出问题,关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。

  这个问题进一步的`等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0,求y的取值范围”

  这种方法不好有很多局限情况,如:定义域是一个区间的.定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的还可以用.过程用上面的就可以了.。

  判别式法介绍

  作用

  可以判断方程有没有根以及有几个根,b^2-4ac<0无根,b^2-4ac=0有两个相等根即一个根,b^2-4ac>0有两个不相等根

  说明

  可用判别式法简化为关于x的二次方程。

  例如y=50x/(1+(x的平方)) ,附加限制条件(x>0) ,求y的最大值 。

  yx^2-50x+y=0 由于两根之积为1,说明两根同号,那就必然是同正,所以两根之和为正,也就是50/y>0。

  定义域情况

  定义域非R有两种情况

  第一种:被抠掉了一点或两点(不会考多)只需检验即可 ( 至于具体如何检验: 应当理解,判别式法的原理在于求 x有解情况下 y的范围 这解可能为两个 也可以为一个 也就是说即使抠掉的那个点在某y值下是一个解 只要此时判别式不等于零也就是还有另外的解 而那个解在定义域内则该y 值就可以取到 理解到这里就行了)

  第二种也就是诸如(x>0) 。这种一般有两种考虑方法。

  第一种就是从正面考虑,也就是在判别式大于等于零下,分为“一个解大于零另一个解小于等于零”和“两解均大于零(包含两解相等)”两种可能具体方法。须用韦达定理求解。

  还可以从反面考虑,也就是在判别式大于等于零下排除两解都小于等于零的情况

  还有种可能就是定义域为x>1。

  此情况,只需参照上面方法,将 X1*X2 转化为(X1-1)(X2-1)这种形式即可。若求和亦然。

  应当提的是 当遇到第二种情况(即并非抠点的情况)时,适用判别式法的题就比较少了,那样会比较麻烦。

  应清楚解题方法。比如如下例题,最简单就是把x 除下来,然后求均值就可结束。


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