判别式法证明不等式事例

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判别式法证明不等式事例

　　判别式法是中学生经常会用到的解答方法，其中用来证明不等式就不错。下面就是学习啦小编给大家整理的判别式法证明不等式内容，希望大家喜欢。

判别式法证明不等式事例

　　判别式法题目

　　x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa

　　等价于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0

　　对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：

　　由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，求y的取值范围。”

　　把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式(*)，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：

　　(1)当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程(*)中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求，……

　　(2)当二次项系数不为0时，∵x∈R，∴Δ≥0，……

　　此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。

　　原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0，求y的取值范围。”

　　判别式法解答

　　1、当函数的定义域为实数集R时

　　例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.

　　解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函数的定义域是R.

　　去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*)

　　(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4;

　　(2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=0.

　　综上所述知原函数的值域为〔0，4〕.

　　2、当函数的定义域不是实数集R时

　　例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.

　　解：由分母不为零知，函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.

　　去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. (*)

　　(1)当y≠1时，由△≥0得y^2≥0�y∈R.

　　检验：由△=0得y=0，将y=0代入原方程求得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，

　　所以y≠0.

　　(2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，

　　所以y≠1.

　　综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}

　　对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

　　由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，

　　把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根.先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了.

　　此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。

　　这个问题进一步的`等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”

　　这种方法不好有很多局限情况，如：定义域是一个区间的.定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的还可以用.过程用上面的就可以了.。

　　判别式法介绍

　　作用

　　可以判断方程有没有根以及有几个根，b^2-4ac<0无根，b^2-4ac=0有两个相等根即一个根，b^2-4ac>0有两个不相等根

　　说明

　　可用判别式法简化为关于x的二次方程。

　　例如y=50x/(1+(x的平方)) ，附加限制条件(x>0) ，求y的最大值。

　　yx^2-50x+y=0 由于两根之积为1，说明两根同号，那就必然是同正，所以两根之和为正，也就是50/y>0。

　　定义域情况

　　定义域非R有两种情况

　　第一种：被抠掉了一点或两点(不会考多)只需检验即可 ( 至于具体如何检验：应当理解，判别式法的原理在于求 x有解情况下 y的范围这解可能为两个也可以为一个也就是说即使抠掉的那个点在某y值下是一个解只要此时判别式不等于零也就是还有另外的解而那个解在定义域内则该y 值就可以取到理解到这里就行了)

　　第二种也就是诸如(x>0) 。这种一般有两种考虑方法。

　　第一种就是从正面考虑，也就是在判别式大于等于零下，分为“一个解大于零另一个解小于等于零”和“两解均大于零(包含两解相等)”两种可能具体方法。须用韦达定理求解。

　　还可以从反面考虑，也就是在判别式大于等于零下排除两解都小于等于零的情况

　　还有种可能就是定义域为x>1。

　　此情况，只需参照上面方法，将 X1*X2 转化为(X1-1)(X2-1)这种形式即可。若求和亦然。

　　应当提的是当遇到第二种情况(即并非抠点的情况)时，适用判别式法的题就比较少了，那样会比较麻烦。

　　应清楚解题方法。比如如下例题，最简单就是把x 除下来，然后求均值就可结束。

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