勾股定理的多种证明方法

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勾股定理的多种证明方法

　　勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理，如何证明勾股定理呢？勾股定理证明方法有哪些呢?下面是的勾股定理证明方法资料，欢迎阅读。

勾股定理的多种证明方法

　　勾股定理的种证明方法(部分)

　　【证法1】(梅文鼎证明)

　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠EGF = ∠BED，

　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

　　∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，

　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

　　∴ ∠ABC = ∠EBD.

　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

　　即 ∠CBD= 90º.

　　又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

　　BC = BD = a.

　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

　　设多边形GHCBE的面积为S，则

　　∴ .

　　【证法2】(项明达证明)

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

　　过点Q作QP‖BC，交AC于点P.

　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点

　　F作FN⊥PQ，垂足为N.

　　∵ ∠BCA = 90º，QP‖BC，

　　∴ ∠MPC = 90º，

　　∵ BM⊥PQ，

　　∴ ∠BMP = 90º，

　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

　　∴ ∠QBM = ∠ABC，

　　又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

　　【证法3】(赵浩杰证明)

　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

　　∴FI=a，

　　∴G,I,J在同一直线上，

　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

　　∠CJB = ∠CFD = 90º，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

　　∴∠ABG = ∠BCJ,

　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90º,

　　∴∠ABG +∠CBJ= 90º,

　　∵∠ABC= 90º,

　　∴G,B,I,J在同一直线上，

　　【证法4】(欧几里得证明)

　　做三个边长分别为a、b、c的`正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，

　　交AB于点M，交DE于点

　　∵ AF = AC，AB = AD，

　　∠FAB = ∠GAD，

　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

　　∵ ΔFAB的面积等于，

　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM

　　的面积的一半，

　　∴ 矩形ADLM的面积 =.

　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.

　　∵ 正方形ADEB的面积

　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

　　∴ ，即 .

　　勾股定理的多种证明方法

　　毕达哥拉斯证法：

　　一、传说中毕达哥拉斯的证法(图1)

　　左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边c为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是a+b)，所以可以列出等式a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，化简得a²+b²=c²。

　　在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。

　　二、赵爽弦图的证法

　　第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式c²+4×1/2ab=(a+b)²，化简得a²+b²=c²。

　　第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为 c的直角三角形拼接形成的(虚线表示)，不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。

　　因为边长为c的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式c²=(b-a)²+4×1/2ab，化简得a²+b²=c²。

　　这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

　　三、美国第20任总统茄菲尔德的证法

　　这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b，斜边为c 的直角三角形和1个直角边为c

　　的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式c²/2+2×1/2ab=(b+a)(a+b)/2，化简得a²+b²=c²。

　　这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

　　勾股定理：勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数是组成a²+b²=c²的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。目前初二学生教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c²。

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