高中数学证明等比数列的常用方法

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高中数学证明等比数列的常用方法

　　等比数列是一项公式，这项公式该怎么被证明呢?下面就是学习啦小编给大家整理的等比数列的证明内容，希望大家喜欢。

高中数学证明等比数列的常用方法

　　数学等比数列的证明

　　数列an前n项和为Sn 已知a1=1 a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......) 证明

　　(1)(Sn/n)是等比数列

　　(2) S(n+1)=4an

　　1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

　　即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

　　nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

　　nS(n+1)=(2n+2)Sn

　　S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

　　即S[(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2

　　S1/1=A1=1

　　所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

　　2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

　　所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)

　　即Sn=n2^(n-1)

　　那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

　　An=Sn-S(n-1)

　　=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

　　=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

　　=[2n-(n-1)]*2^(n-2)

　　=(n+1)2^(n-2)

　　=(n+1)*2^n/2^2

　　=(n+1)2^n/4

　　=S(n+1)/4

　　所以有S(n+1)=4An

　　a(n)-a(n-1)=2(n-1)

　　上n-1个式子相加得到：

　　an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

　　右边是等差数列，且和=[2+2(n-1)](n-1)/2=n(n-1)

　　所以：

　　an-2=n^2-n

　　an=n^2-n+2

　　无穷递减等比数列

　　a,aq,aq^2……aq^n

　　其中，n趋近于正无穷，q<1

　　注意：

　　(1)我们把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的`极限才存在，当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。

　　(2)S是表示无穷等比数列的所有项的和，这种无限个项的和与有限个项的和从意义上来说是不一样的，S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=

　　S=a/(1-q)

　　算法

　　想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式

　　设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时

　　Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)

　　将这个式子两边同时乘以公比q，得

　　qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n

　　两式相减，得

　　(1-q)Sn=a1-a1q^n

　　所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

　　对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式

　　S=a/(1-q)

　　高中数学必修5等比数列知识点总结

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