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数学中证明等差数列的常用方法
等差数列是数学的现象，这类的现象该怎么证明呢?证明的公式是怎样的'呢?下面就是百分网小编给大家整理的如何证明等差数列内容，希望大家喜欢。
等差数列证明一
设等差数列 an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
[a1+a1+(n-1)d]/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
Sn/n=[na1+n(n-1)d/2]/n=a1+(n-1)d/2
得证
1 三个数abc成等差数列，则c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c), b^2(c+a), c^2(a+b) 成等差数列
等差：an-(an-1)=常数 (n≥2)
等比：an/(an-1=常数 (n≥2)
等差：an-(an-1)=d或2an=(an- 1)+(an+1),(n≥2)
等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
等差数列二
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明：
1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立
2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)
则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即：(5k-8)*[a(k+1)+Sk]-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1时，推测仍成立。
在新的数列中
An=S[4n-(4n-4)]
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
A(n-1)=S[4(n-1)-4(n-2)]
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d为原数列公差)
20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。
等差数列求和公式
设首项为 , 末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为 , 则有:
① ;
② ;
③ ;
④ , 其中 ..
当d≠0时，Sn是n的二次函数，(n，Sn)是二次函数 的图象上一群孤立的点。利用其几何意义可求前n项和Sn的最值。
注意：公式一二三事实上是等价的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推导
证明：由题意得：
Sn=a1+a2+a3+。。。+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+。。。+a1②
①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](当n为偶数时)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An)
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