高中数学余弦定理的常用证明方法

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高中数学余弦定理的常用证明方法

　　余弦定理是数学的真理，那该怎么被证明呢？证明的步骤的是怎样的呢？下面就是百分网小编给大家整理的余弦定理的证明方法内容，希望大家喜欢。

高中数学余弦定理的常用证明方法

　　余弦定理的证明方法一

　　在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

　　则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

　　b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。

　　过A作AD⊥BC于D，则BD+CD=a

　　由勾股定理得：

　　c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

　　所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

　　=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2-2a*CD+(CD)^2-(CD)^2+b^2

　　=a^2+b^2-2a*CD

　　因为cosC=CD/b

　　所以CD=b*cosC

　　所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

　　余弦定理的证明方法二

　　在任意△ABC中,作AD⊥BC.

　　∠C对边为c，∠B对边为b，∠A对边为a-->

　　BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　勾股定理可知：

　　AC=AD+DC

　　b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

　　b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

　　b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

　　b=c+a-2ac*cosB

　　所以，cosB=(c+a-b)/2ac

　　余弦定理的证明方法三

　　如右图，在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.以A为原点，AC所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是C点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA，csinA).∴CB=(ccosA-b，csinA).现将CB平移到起点为原点A，则AD=CB.而|AD|=|CB|=a，∠DAC=π-∠BCA=π-C，根据三角函数的定义知D点坐标是(acos(π-C)，asin(π-C))即D点坐标是(-acosC，asinC),∴AD=(-acosC，asinC)而AD=CB∴(-acosC，asinC)=(ccosA-b，csinA)∴asinC=csinA……①-acosC=ccosA-b……②由①得asinA=csinC，同理可证asinA=bsinB，∴asinA=bsinB=csinC.由②得acosC=b-ccosA，平方得：a2cos2C=b2-2bccosA+c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A∴a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

　　mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

　　mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　同理可得：

　　mb=

　　mc=

　　ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

　　=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

　　由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

　　得，4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：

　　ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

　　=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

　　证毕。

　　正弦与余弦定理和公式高中数学知识点

　　首先，我们要了解下正弦定理的应用领域

　　在解三角形中，有以下的应用领域：

　　(1)已知三角形的两角与一边，解三角形

　　(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

　　(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

　　直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦

　　正弦定理

　　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径)

　　其次，余弦的应用领域

　　余弦定理

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

　　正弦定理的变形公式

　　(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

　　(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

　　(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径)

　　(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形：sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R，asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

　　(5)a=bsinA/sinB，sinB=bsinA/a

　　正弦、余弦典型例题

　　1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA的值为

　　2.已知为锐角，且，则的度数是()A.30B.45C.60D.90

　　3.在△ABC中，若，A，B为锐角，则C的度数是()A.75B.90C.105D.120

　　4.若A为锐角，且，则A=()A.15B.30C.45D.60

　　5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足为D，且AD=，E是AC中点，EFBC，垂足为F，求sinEBF的值。

　　正弦、余弦解题诀窍

　　1、已知两角及一边，或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦定理

　　2、已知三边，或两边及其夹角用余弦定理

　　3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用，只需要知道最大角的余弦值为正，为负，还是为零，就可以确定是钝角。直角还是锐角。

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