数学正弦定理证明如何证明

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数学正弦定理证明如何证明

　　正弦定理该怎么证明呢?关于它们的证明方法之怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的正弦定理证明方法内容，希望大家喜欢。

数学正弦定理证明如何证明

　　正弦定理证明方法方法1

　　用三角形外接圆

　　证明：任意三角形ABC,作ABC的.外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　类似可证其余两个等式。

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　正弦定理证明方法方法2

　　用直角三角形

　　证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

　　CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。

　　正弦定理证明方法方法3

　　用三角形面积公式

　　证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE

　　即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

　　COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

　　SINc^2=1-COSc^2

　　SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

　　=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

　　同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

　　得证

　　正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

　　证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

　　例如，用BC边和经过B的`直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

　　2RsinD=BC (R为三角形外接圆半径)

　　角A=角D

　　得到：2RsinA=BC

　　同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

　　这样就得到正弦定理了

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